Aria si volumul sferei

Aria sferei

Suprafata unei sfere nu se poate “aseza” pe un plan.

Vom incepe prin a studia aria laterala a unui trunchi de con circular drept inscris in sfera (fig.19.8).

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 1
Fig. 19 8

Daca sectionam figura cu un plan ce trece prin cele doua centre C si D ale bazelor trunchiului de con, plan ce va trece prin centrul O al sferei, intersectia cu sfera va da un cerc cu centrul in O. Generatoarea trunchiului de con va fi o coarda AB in acest cerc. Fie M mijlocul acestei coarde. Lungimea MN a perpendicularei din M pe dreapta OC este egala cu \frac{R+r}{2}. Daca P este piciorul perpendicularei din A pe BD, atunci ⊿OMN este asemenea cu ⊿APB, deci \frac{MN}{OM}=\frac{AP}{AB} sau MN\cdot AB=OM\cdot AP. Deci, aria laterala a trunchiului de con circular drept poate fi scrisa A_l=\pi\cdot2\ MN\cdot AB= \pi\cdot2 OM\cdot AP= 2\cdot\pi\cdot OM\cdot CD. Aceasta permite sumarea unor astfel de arii, deoarece OM este acelasi. Anume:

Sa consideram o  “zona sferica”, sectionata cu un plan ce trece prin centrele C, D ale cercurilor ce o formeaza (fig. 19.9).

Sa facem in acest caz un rationament mai riguros decat in cazul celorlalte suprafete curbe pe care le-am considerat pana acum.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 2
Fig. 19 9

Sa impartim arcul AB in n parti egale prin punctele A=A_0,\ A_1,\ \ldots,A_n=B si sa consideram cele n trunchiuri de con circular drept ce au ca generatoare A_kA_{k+1} si drept centre ale fetelor (bazelor) proiectiile D_kD_{k+1} ale lui A_kA_{k+1} pe CD.

Suma ariilor laterale ale acestor trunchiuri de con va aproxima aria zonei sferice.

Fie M_k mijlocul lui A_kA_{k+1}. Stim ca aria laterala a trunchiului de con respectiv este \pi\cdot2OM_k\cdot D_kD_{k+1} . Dar OM_k este acelasi pentru toti k, deci suma acestor arii este 2\pi OM_k\cdot CD.

Facand pe n tot mai mare, A_kA_{k+1} devine tot mai mic, OM_k se apropie de raza R a sferei. Deci:

Aria unei zone sferice este egala cu 2\pi R\cdot H unde R este raza sferei din care face parte, iar H este distanta dintre acele plane care determina zona sferica. Aceasta formula se foloseste si la calculul ariei unei calote sferice.

Pentru H=2R obtinem toata sfera, deci aria sferei de raza R este egala cu \large {\color{Blue} 4\pi\cdot R^2}.

Volumul sferei

Volumul unei sfere de raza R este egal cu o treime din produsul dintre aria acestei sfere si raza ei, adica:

\large {\color{Blue} V=\frac{4}{3}\pi R^3.}

Aceasta afirmatie se poate argumenta in acelasi mod in care s-a argumentat faptul ca aria cercului este egala cu o jumatate din produsul dintre lungimea cercului si raza. Vom presupune sfera umpluta cu piramide cu varfurile in centrul ei si bazele patrulatere cu varfurile pe sfera. Vom observa ca inaltimile lor aproximeaza raza sferei, iar suma ariilor bazelor lor aproximeaza aria sferei. Suma volumelor lor va aproxima volumul sferei si va fi o treime din inaltimea cumuna (raza sferei) inmultita cu suma ariilor bazelor (aria sferei).

\large {\color{Blue} V=\frac{R}{3}\cdot4\pi R^2=\frac{4\pi R^3}{3}.}

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 3
Fig. 19 10

Problema rezolvata. Un trapez are bazele de 30 cm si 45 cm, iar laturile neparalele de 9 cm si 12 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul corpului obtinut prin rotirea trapezului in jurul laturii de 12 cm.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 4
Fig. 19 11

Rezolvare. Inainte de a incepe rezolvarea propriu-zisa a problemei, atragem atentia asupra modului in care este bine sa faceti desenul corpurilor de rotatie.

Cand vreti sa vedeti ce forma are un corp, provenind din rotirea unei figuri plane in jurul unei axe, este bine sa procedati in modul urmator: desenati simetrica figurii plane A’ fata de axa, iar cu extremitatile in varfurile simetrice duceti elipse, cu axa mai mica cat mai mica.

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu {P}=AD\cap BC si CC’∥AD, ⊿CC’ B≡⊿PAB=>\frac{AP}{9}=\frac{BP}{12}=\frac{45}{15}=3, AP=27 cm, BP=36 cm.Din ⊿CC’B∼⊿PDC, PC=24 cm Observam ca {AP}^2+{BP}^2={AB}^2, ({27}^2+{36}^2={45}^2).. Deci ∢APB=90°. Fie A’ si D’ simetricele lui A si D fata de BC, ele se vor gasi in prelungirea lui AP. Descriem cercuri cu diametrele AA’ si DD’ (pe care le desenam in spatiu asa cum se vede in figura 19.11). Simetricele punctelor B si C fata de axa de rotatie coincid cu ele insele.

Deci, acum observam ca s-a format un con circular drept (cu varful in B si cu baza cercul de diametru AA’) din care lipseste un alt con (cu varful in C si cu baza cercul de diametru DD’), asemenea cu el.

Volumul conului mic este v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}\ {cm}^3.

Volumul conului mare este V=\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}\ {cm}^3. Deci,

V-v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}-\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}

=\frac{\pi9^2\cdot12}{3}\left(3^2\cdot3-2^2\cdot2\right)= \pi9^2\cdot4\cdot19=6156\pi

{\ V}^\prime=6156\pi\ {cm}^3.

Pentru a calcula aria totala, vom observa asemanarea dintre cele doua conuri, raportul de asemanare fiind \frac{2}{3}. Notand cu A_l aria laterala a conului mic si cu {A\prime}_l aria laterala a conului mare, putem scrie:

\frac{A_l\ }{{A^\prime}_l\ }= \frac{4}{9}; \ A_l=\frac{4}{9}\cdot\pi\cdot27\cdot45= 540\ \pi\ {cm}^3.

A^\prime=540\pi+1215\pi+405\pi=2160\pi; A^\prime=2160\pi\ {cm}^3

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.