Aria laterala a cilindrului si a conului

Este mult mai dificil de a defini exact ce intelegem prin aria unei portiuni dintr-o suprafata curba. In cazul nostru avem de-a face cu doua suprafete care se pot “aseza pe un plan”, fara a modifica lungimile curbelor de pe ele. Este natural sa presupunem ca aceasta “asezare” nu modifica nici ariile portiunilor din aceste suprafete, portiuni care se “aseaza” pe niste portiuni din plan.

Aria laterala a cilindrului drept

Daca sectionam cilindrul drept dupa o generatoare, obtinem o suprafata care se poate “aseza” pe un plan, devenind un dreptunghi, cu baza segmentului provenit din curba de baza a cilindrului, iar inaltimea, generatoarea dupa care a fost sectionat cilindrul. Deci:

Aria laterala a cilindrului drept = (lungimea curbei de baza) ∙ (generatoarea), unde se observa ca generatoarea este egala cu inaltimea (fig. 19.3).

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 1
Fig. 19 3

Aria totala a cilindrului se obtine adunand la aria laterala, ariile celor doua baze. Cum cele doua baze sunt congruente, ariile vor fi egale. Deci:

\large {\color{Blue} A_t=A_l+2\cdot A_b,}

Unde \large A_t,\ A_l,\ A_b sunt aria totala, aria laterala si aria bazei.

In cazul cilindrului circular drept, avand raza bazei R si generatoarea G, aria totala este:

\large {\color{Blue} A_t=2\pi RG+2\pi R^2=2\pi R\cdot\left(R+G\right).}

Observatie. Un cilindru oblic se poate transforma intr-unul drept, efectuand o sectiune printr-un plan perpendicular pe generatoare (sectiune normala) si translatand una din parti in directia generatoarei, pana cand baza ei se suprapune peste cealalta.

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 2
Fig. 19 4

Deci: aria laterala a unui cilindru oblic este egala cu lungimea sectiunii normale inmultita cu lungimea generatoarei.

Aria laterala a conului circular drept

Am vazut ca, sectionanad un con circular drept cu o generatoare, suprafata obtinuta se poate “aseaza” pe un plan, devenind un sector de cerc, avand ca raza generatoarea, iar ca arc un arc ce corespunde cercului de baza al conului (fig. 19.5).

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 3
Fig. 19 5

Cum aria unui sector de cerc este jumatate din produsul lungimii arcului sau si raza cercului, in cazul nostru \frac{1}{2}\left(2\pi R\right)G , rezulta ca:

\large {\color{Blue} A_l=\pi RG,}

Unde A_leste aria laterala, R este raza bazei conului, iar G este generatoarea sa.

Aria totala A_t a unui con circular este aria sa laterala adunata cu aria bazei sale; iar in cazul conului circular drept de raza R si generatoare G, aria totala este egala cu

\large {\color{Blue} A_t=\pi RG+\pi R^2=\pi R\left(G+R\right).}

Aria laterala a unui con oblic este mult mai dificil de calculat.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.