Alte teoreme de paralelism

  1. Segmente paralele intre plane paralele.[1] Doua plane paralele determina pe doua drepte paralele, pe care le intersecteaza, segmente congruente.

Demonstratie. Planele paralele sunt α si β, dreptele paralele sunt d si g (fig. 4.1). Planul (d, g) intersecteaza pe α si pe β dupa doua drepte paralele (AB si DC). Rezulta ca patrulaterul ABCD este paralelogram, deci BC≡AD.

Matematica Capacitate Alte teoreme de paralelism 1
fig. 4 1

2. Theorema lui Thales in spatiu. Mai multe plane paralele determina pe doua drepte oarecare, care le intersecteaza pe acestea, segmente respectiv proportionale.

Demonstratie. Fie α, β si γ trei plane paralele, distincte doua cate doua si fie d1 si d2 doua drepte distincte, care intersecteaza cele trei plane in punctele respectiv  (fig. 4.3).Matematica Capacitate Alte teoreme de paralelism 2

fig. 4 2

Matematica Capacitate Alte teoreme de paralelism 3
fig. 4 3

Ducem prin A2 o paralela d1’ la dreapta d1 si fie B3 si C3 intersectiile dreptei d1’ cu planele β si γ.

Astfel, in triunghiul A_2C_2C_3, segmentul B_2B_3 este paralel cu C_2C_3 si putem scrie deci:

\frac{A_2B_2}{B_2C_2}=\frac{A_2B_2}{B_3C_3}=> \frac{A_2B_2}{A_2B_3}=\frac{B_2C_2}{B_3C_3}.

Insa A_2B_3\equiv A_1B_1 si B_3C_3\equiv B_1C_1. Rezulta \frac{A_2B_2}{A_1B_1}=\frac{B_2C_2}{B_1C_1}.

Observatie. In enuntul teoremei am vorbit despre “mai multe plane paralele” si nu despre trei plane asa cum apare in demonstratie. Daca am avea doar doua plane, atunci raportul \frac{A_2B_2}{A_1B_1} nu am avea cu cine sa-l comparam. Daca am avea mai mult decat trei plane paralele, am obtine un sir de rapoarte egale (numarul de rapoarte fiind egal cu numarul planelor micsorat cu 1).

3. Unghiuri cu laturile paralele. Fie ∢xOy si ∢x’O’y’ doua unghiuri necoplanare, cu laturile respectiv paralele Ox∥O’x’ si Oy∥O’y’ si astfel incat Ox, O’x’ sa fie in acelasi semiplan determinat de dreapta OO’, la fel si Oy cu O’y’. Sa demonstram ca∢xOy≡∢x’O’y’ (4.4).

Matematica Capacitate Alte teoreme de paralelism 4
fig. 4 4

Vom lua pe laturile paralele segmentele OA≡O’A’, (OA=a) si OB≡O’B’, (OB=b). Afirmam ca triunghiurile OAB si O’A’B’ sunt congruente. Intr-adevar, patrulaterul AOO’A’ este paralelogram, avand laturile OA si O’A’ congruente si paralele. La fel si BOO’B’ este paralelogram. De aici rezulta ca si ABB’A’ este paralelogram, avand doua laturi AA’ si BB’ paralele si congruente. Rezulta ca ⊿OAB≡⊿O’A’B’ (avand laturile respectiv congruente), deci ∢AOB≡∢A’O’B’ si propozitia este demonstrata.

Matematica Capacitate Alte teoreme de paralelism 5
fig. 4 5

Daca numai o pereche dintre laturile paralele se afla in semiplane diferite fata de OO’ se demonstreaza usor ca unghiurile sunt suplementare (fig. 4.5). Putem deci afirma:

Teorema. Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare.

[1] Folosim aceasta denumire, desi improprie, pentru ca este intrata in us. Este improprie pentru ca s-ar putea ivi cazul din figura 4.2.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.