Probleme: aria si volumul sferei

Probleme de Matematica Capacitate – Aria si volumul sferei

1. Dintr-o bara de otel, sub forma de prisma patrulatera regulata cu latura bazei de 12 cm si inaltimea de 4,5 m, se strunjeste un ax cilindric, cu pierdere minima de material. Sa se afle volumul axului obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 1

R=\frac{12}{2}=6;

V=\pi\cdot36\cdot450=16200\pi\ {cm}^3

2. Sa se afle volumul unui cilindru circular drept inscris intr-o prisma triunghiulara regulata dreapta care are latura bazei de 4\sqrt3 dm si inaltimea de 10 dm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 2

R\sqrt3=4\sqrt3=> R=4; V=\pi\cdot16\cdot10=160\pi\ {dm}^3

3. Un con circular drept are raza bazei de 6 cm si generatoarea de 10 cm. Gasiti volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 3

h=\sqrt{100-36}=8;

\ V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot8\pi=96\pi\ {cm}^3

4. Un triunghi dreptunghic ABC m(∢A=90°) se roteste, pe rand, in jurul catetelor si apoi al ipotenuzei. 

  1. Daca AB = 5 dm si AC = 12 dm, gasiti cele trei volume V_1,\ V_2 si \ V_3.
  2. Daca AB = c, AC = b, V_1 si V_2 sunt volumele obtinute prin rotirea triunghiului in jurul catetelor, iar V prin rotirea in jurul ipotenuzei, aratati ca:

\frac{1}{V^2}=\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}.

Rezolvare:

a.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot12=100\pi\ {dm\ }^3;

V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot144\cdot5=240\pi\ {dm\ }^3;

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 4

BC=\sqrt{25+144}=13; AO=\frac{12\cdot5}{13}=\frac{60}{13}; OB=\frac{144}{13}; OC=\frac{25}{13}; \ V_3=\frac{1}{3}\cdot\pi\ \frac{{60}^2}{{13}^2}\cdot\left(\frac{144}{13}+\frac{25}{13}\right)= \frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3600}{13}=\frac{1200}{13}\pi\ {dm\ }^3

b.

\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot c^2\cdot b\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot c\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}\right)= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\frac{a^2}{c^2\cdot b^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{b^2}{a}+\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{c^2}{a}= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{h^2}{a}\cdot a^2= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot a \frac{1}{V^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{c^2\cdot b^2}{a^2}\cdot a\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

5.*Un con circular drept are raza bazei . El are trei generatoare doua cate doua perpendiculare.

  1. Aflati volumul conului.
  2. Rezolvati problema in cazul general, cand raza bazei este r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 5

m\left(\sphericalangle AOB\right)=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ};

AB=2\cdot\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r2\sqrt3}{2}=r\sqrt3;

VA=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{{3r}^2}=\frac{r\sqrt3}{\sqrt2};

H=\sqrt{\frac{{3r}^2}{2}-r^2}=\frac{r}{\sqrt2};

\ V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\frac{r}{\sqrt2}= \frac{\sqrt2}{6}\cdot\pi\cdot r^3;

V=\frac{0.256}{3}\pi\sqrt2\ m^3

6. *Calculati volumul unui con circumscris unui tetraedru regulat de muchie a = 6 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 6

r=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3;

h=\sqrt{36-12}=2\sqrt6;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot12\cdot2\sqrt6=8\pi\sqrt6\ m^3

7. Un dreptunghi cu laturile si se roteste in jurul lui a si apoi in jurul lui b.

  1. In ce caz se obtine aria laterala mai mare?
  2. In ce caz se obtine volumul mai mare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 7

AB=a;BC=b;

A_{L1}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\cdot b=ab\pi;

\ A_{L2}=2\pi\cdot\frac{b}{2}\cdot a=ab\pi

Ariile laterale sunt egale.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot a^2\cdot b;

\ V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot a=>V_2>V_1

8. Un trapez dreptunghic ABCD (m(∢B)=m(∢C)=90°) se roteste in jurul unei paralele cu BC, distanta de la BC la axa fiind de 3 cm (se considera axa in planul trapezului, dar in afara lui). Daca AB = 12 cm, AD = 10 cm si CD = 4 cm, sa se afle aria totala si volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 8

R=AB+3=15; r=DC+3=7; G=AD=10;

H=\sqrt{100-64}=6;

A_T=\pi\left(R+r\right)G+\pi r^2+\pi

R^2=\pi\left(150+70+144+49\right)= 413\pi\ {cm}^2;

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \frac{6\pi}{2}\left(144+49+84\right)=831\pi\ {cm}^3.

9. Aria totala a unui cilindru circular drept este de 132π cm2, iar cea laterala 96π cm2. Sa se afle volumul cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 9

A_{.T}=2\pi r^2+2\pi ra= 2\pi r\left(r+a\right)=132\pi;

A_{.L}=2\pi ra=96\pi 2\pi r^2= 132\pi-96\pi=36\pi=>r=3\sqrt2;

a=8\sqrt2;

V=18\pi\cdot8\sqrt2=144\pi\sqrt2\ {cm}^3

10. Un con se desfasoara pe un plan dupa un semicerc cu diametrul de 20 cm. Sa se afle volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 10

g=R=10; 2πr=πR=10π => r=5

h=\sqrt{100-25}=5\sqrt3;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot5\sqrt3=\frac{125\sqrt3}{3}\pi\ {cm}^3

11. *Un trapez dreptunghic se roteste, o data in jurul bazei mici, alta data in jurul bazei mari. Cunoscand volumele V_1 si V_2 ale corpurilor astfel obtinute, precum si latura a perpendiculara pe baze, sa se calculeze, in functie de V_1, V_2 si a, diferenta dintre bazele trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 11

V_1=\pi a^2b+\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right);

V_2=\pi a^2B-\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

V_2-V_1=\pi a^2\left(B-b\right)-\frac{2}{3}\pi a^2\left(B-b\right)= \frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

B-b=3\cdot\frac{V_2-V_1}{\pi a^2}

12. *Intr-un con circular drept cu diametrul bazei egal cu 12\sqrt2 cm si inaltimea egala cu 6 cm, se inscrie un cub astfel incat o fata a sa sa se gaseasca in planul bazei conului, iar varfurile celelilalte baze sa fie situate pe panza conica.

  1. Sa se gaseasca volumul cubului.
  2. Rezolvati aceeasi problema in cazul cand diametrul bazei cercului este 2a\sqrt2 si inaltimea conului a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 12

Facem o sectiune axiala in con, determinata de sectiunea ACC’A’ prin cub. Notam cu xlatura cubului si tinanc cont de asemanarea triunghiurilor AVC si PVQ, obtinem:

\frac{x\sqrt2}{2a\sqrt2}=\frac{a-x}{a}=> x=\frac{2a}{3},V=\frac{8a^3}{27}.

Daca a=6 cm=>

x=4 cm, V= 64 cm3

13. Un con circular drept, care are raza bazei de 8 m si inaltimea de 16 m, se taie cu un plan paralel cu planul bazei, determinand astfel un trunchi de con de inaltime de 12 m.

  1. Sa se calculeze volumul trunchiului de con format.
  2. Sa se determine la ce distanta de planul bazei trebuie sa se faca o sectiune in con, printr-un plan paralel cu baza, astfel ca ariile laterale ale celor doua corpuri formate sa fie egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 13

Raportul de asemanare dintre conul mic si conul mare este 1/4:

V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot1024\ {cm}^3;

V_{con\ mic}=\frac{1}{4^3}\cdot V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot16\ {cm}^3;

V_{trunchi}=V_{con\ mare}-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{3}\cdot1024-\frac{\pi}{3}\cdot16=336\pi\ {cm}^3;

A_{l\ con\ mare}=k^2\cdot\ A_{l\ con\ mic};

A_{l\ con\ mic}=A_{l\ trunchi}=>

k=\frac{1}{\sqrt2};

\frac{h}{16}=\frac{\sqrt2}{2}=>h=8\sqrt2;

d=16-8\sqrt2=8\left(2-\sqrt2\right)cm.

14. Un triunghi dreptunghic ABC, (m(∢A)=90°) se roteste in jurul perpendicularei in B pe BC. Daca AB = 3 cm si AC = 4 cm, gasiti volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 14

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right);

BC=5; h=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}; R=5; r=\frac{9}{5};

V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \pi\frac{12}{15}\left(25+\frac{81}{25}+9\right)= \pi\frac{4}{5}\cdot\frac{931}{25};

V_{con\ mic}=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{81}{25}\cdot\frac{12}{5}= \pi\cdot\frac{27}{25}\cdot\frac{12}{5};

V_{corp}=V-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{125}\cdot\left(3724-324\right)=27,2\pi\ {cm}^3

15. Un trunchi de con circular drept are aria laterala 220\ \pi\ {cm}^2 si generatoarea 10 cm. Stiind ca raportul razelor trunchiului este de 4 : 7, sa se afle aria totala si volumul trunchiului de con.

Rezolvare:

A_l=\pi\left(R+r\right)G=10\pi\left(R+r\right)=220\ \pi=>R+r=22;

\frac{r}{R}=\frac{4}{7} =>r=\frac{4R}{7}=> \frac{11R}{7}=22=> R=14,\ r=8

A_t=220\ \pi+196\pi+64\pi=480\pi\ {cm}^2;

h=\sqrt{100-36}=8;

V=\frac{\pi8}{3}\left(196+64+112\right)=992\pi\ {cm}^3

16. Intr-o sfera cu raza R = 5 m, se inscrie un con cu inaltimea h = 8 m. Sa se afle:

  1. Aria si volumul sferei
  2. Aria si volumul conului
  3. Ariile calotelor formate

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 15

A_{sfera}=4\pi\cdot R^2=100\pi\ m^2;

\ V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500}{3}\pi\ m^3;

m\left(\sphericalangle VBM\right)=90^{\circ};

 VO=ON=OM=5;O^\prime M=2;OO^\prime=3=>

O^\prime B=\sqrt{25-9}=4\ r=4;

AB=g=\sqrt{64+16}=4\sqrt5

A_{con}=\pi\cdot r^2+\pi rg=16\pi+16\sqrt5\pi= 16\pi\left(1+\sqrt5\right)\ m^2

V_{con}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot16\cdot\pi=\frac{128}{3}\pi\ m^3

A_{calota\ mica}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot2=20\pi\ m^2;

A_{calota\ mare}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot8=80\pi m^2

17. Un con circular drept, in care generatoarele fac unghiuri de 30° cu inaltimea, taie dintr-o sfera, cu centrul in varful conului, o calota. Raza sferei fiind R, sa se afle aria calotei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 16

OA=OB=R;m(∢AOB)=30°+30°=60°=>AB=R;

O^\prime=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{R\sqrt3}{2};

H=O^\prime M=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}

A_{calota\ }=2\pi R\cdot H=2\pi R\cdot\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}=\pi R^2(2-\sqrt3)

18.*O piramida, cu baza patrat de latura a, are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale. Calculati raza semisferei cu centrul in centrul bazei piramidei si tangenta la fetele laterale ale piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 17

V=\frac{a^2}{3}\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a^3\sqrt2}{6};

V=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{r}{3}=>

\frac{a^3\sqrt2}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{3}\cdot r

=>r=\frac{a\sqrt6}{6}

19. Daca doua cercuri necoplanare au doua puncte comune, atunci ele sunt situate pe aceeasi sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 18

OA=OB=r=>Centrul sferei se afla pe planul mediator al coardei comune.

20.*Daca un poliedru are toate varfurile sale pe o sfera, atunci toate fetele sale sunt poligoane inscriptibile.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 19

Varfurile unei fete apartin intersectiei planului acelei fete cu sfera, care este un cerc.

21.*Piramida VABCD are baza ABCD dreptunghi. Ducem CP⊥VA (P∈AV), iar din D ducem DQ⊥VB (Q∈BV). Demonstrati ca PQBA este un patrulater inscriptibil.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 20

⊿APCeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul AC;

⊿DQBeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul BD

Dar BD=AC => consideram sfera cu diametrul egal cu diagonala dreptunghiului. P, Q, A, B sunt coplanare si se afla pe aceeasi sfera => patrulaterul este inscriptibil.

22. Daca exista o sfera tangenta la toate muchiile unui tetraedru, atunci suma oricaror doua muchii opuse ale tetraedrului este aceeasi. (Prin muchii opuse intelegem doua muchii care n-au niciun varf comun.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 21

Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc la un cerc din acelasi plan sunt congruente ceea ce face ca segmentele care unesc un varf cu punctele de tangenta ale fetelor care il contin sa fie congruente => laturile pot fi determinate in functie de aceste tangente.Daca le notam cu a, b, c, d:

BM=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

AN=\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{a^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}

=>AD+BC=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+

\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

Egalitate valabila pentru orice muchii opuse.

23.*Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Fie M si N doua puncte variabile astfel incat MA⊥AN,MB⊥BN,  MC⊥NC, MD⊥ND Sa se arate ca segmentul MN are lungimea constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 22

⊿MAN, ⊿MBN sunt dreptunghice => A si B apartin unui cerc de diametru MN => OA=OB, unde O este mijlocul segmentului MN

⊿MAN, ⊿MDN sunt dreptunghice => A si D apartin unui cerc de diametru MN =>OA=OD;

⊿MAN, ⊿MCN sunt dreptunghice => A si C apartin unui cerc de diametru MN=>OA=OC;

=>OA=OB=OC=OD;

=> A, B, C, D apartun unei sfere de diametru MN circumscrisa tetraedrului ABCD

Aria si volumul sferei

Aria sferei

Suprafata unei sfere nu se poate “aseza” pe un plan.

Vom incepe prin a studia aria laterala a unui trunchi de con circular drept inscris in sfera (fig.19.8).

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 23
Fig. 19 8

Daca sectionam figura cu un plan ce trece prin cele doua centre C si D ale bazelor trunchiului de con, plan ce va trece prin centrul O al sferei, intersectia cu sfera va da un cerc cu centrul in O. Generatoarea trunchiului de con va fi o coarda AB in acest cerc. Fie M mijlocul acestei coarde. Lungimea MN a perpendicularei din M pe dreapta OC este egala cu \frac{R+r}{2}. Daca P este piciorul perpendicularei din A pe BD, atunci ⊿OMN este asemenea cu ⊿APB, deci \frac{MN}{OM}=\frac{AP}{AB} sau MN\cdot AB=OM\cdot AP. Deci, aria laterala a trunchiului de con circular drept poate fi scrisa A_l=\pi\cdot2\ MN\cdot AB= \pi\cdot2 OM\cdot AP= 2\cdot\pi\cdot OM\cdot CD. Aceasta permite sumarea unor astfel de arii, deoarece OM este acelasi. Anume:

Sa consideram o  “zona sferica”, sectionata cu un plan ce trece prin centrele C, D ale cercurilor ce o formeaza (fig. 19.9).

Sa facem in acest caz un rationament mai riguros decat in cazul celorlalte suprafete curbe pe care le-am considerat pana acum.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 24
Fig. 19 9

Sa impartim arcul AB in n parti egale prin punctele A=A_0,\ A_1,\ \ldots,A_n=B si sa consideram cele n trunchiuri de con circular drept ce au ca generatoare A_kA_{k+1} si drept centre ale fetelor (bazelor) proiectiile D_kD_{k+1} ale lui A_kA_{k+1} pe CD.

Suma ariilor laterale ale acestor trunchiuri de con va aproxima aria zonei sferice.

Fie M_k mijlocul lui A_kA_{k+1}. Stim ca aria laterala a trunchiului de con respectiv este \pi\cdot2OM_k\cdot D_kD_{k+1} . Dar OM_k este acelasi pentru toti k, deci suma acestor arii este 2\pi OM_k\cdot CD.

Facand pe n tot mai mare, A_kA_{k+1} devine tot mai mic, OM_k se apropie de raza R a sferei. Deci:

Aria unei zone sferice este egala cu 2\pi R\cdot H unde R este raza sferei din care face parte, iar H este distanta dintre acele plane care determina zona sferica. Aceasta formula se foloseste si la calculul ariei unei calote sferice.

Pentru H=2R obtinem toata sfera, deci aria sferei de raza R este egala cu \large {\color{Blue} 4\pi\cdot R^2}.

Volumul sferei

Volumul unei sfere de raza R este egal cu o treime din produsul dintre aria acestei sfere si raza ei, adica:

\large {\color{Blue} V=\frac{4}{3}\pi R^3.}

Aceasta afirmatie se poate argumenta in acelasi mod in care s-a argumentat faptul ca aria cercului este egala cu o jumatate din produsul dintre lungimea cercului si raza. Vom presupune sfera umpluta cu piramide cu varfurile in centrul ei si bazele patrulatere cu varfurile pe sfera. Vom observa ca inaltimile lor aproximeaza raza sferei, iar suma ariilor bazelor lor aproximeaza aria sferei. Suma volumelor lor va aproxima volumul sferei si va fi o treime din inaltimea cumuna (raza sferei) inmultita cu suma ariilor bazelor (aria sferei).

\large {\color{Blue} V=\frac{R}{3}\cdot4\pi R^2=\frac{4\pi R^3}{3}.}

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 25
Fig. 19 10

Problema rezolvata. Un trapez are bazele de 30 cm si 45 cm, iar laturile neparalele de 9 cm si 12 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul corpului obtinut prin rotirea trapezului in jurul laturii de 12 cm.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 26
Fig. 19 11

Rezolvare. Inainte de a incepe rezolvarea propriu-zisa a problemei, atragem atentia asupra modului in care este bine sa faceti desenul corpurilor de rotatie.

Cand vreti sa vedeti ce forma are un corp, provenind din rotirea unei figuri plane in jurul unei axe, este bine sa procedati in modul urmator: desenati simetrica figurii plane A’ fata de axa, iar cu extremitatile in varfurile simetrice duceti elipse, cu axa mai mica cat mai mica.

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu {P}=AD\cap BC si CC’∥AD, ⊿CC’ B≡⊿PAB=>\frac{AP}{9}=\frac{BP}{12}=\frac{45}{15}=3, AP=27 cm, BP=36 cm.Din ⊿CC’B∼⊿PDC, PC=24 cm Observam ca {AP}^2+{BP}^2={AB}^2, ({27}^2+{36}^2={45}^2).. Deci ∢APB=90°. Fie A’ si D’ simetricele lui A si D fata de BC, ele se vor gasi in prelungirea lui AP. Descriem cercuri cu diametrele AA’ si DD’ (pe care le desenam in spatiu asa cum se vede in figura 19.11). Simetricele punctelor B si C fata de axa de rotatie coincid cu ele insele.

Deci, acum observam ca s-a format un con circular drept (cu varful in B si cu baza cercul de diametru AA’) din care lipseste un alt con (cu varful in C si cu baza cercul de diametru DD’), asemenea cu el.

Volumul conului mic este v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}\ {cm}^3.

Volumul conului mare este V=\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}\ {cm}^3. Deci,

V-v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}-\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}

=\frac{\pi9^2\cdot12}{3}\left(3^2\cdot3-2^2\cdot2\right)= \pi9^2\cdot4\cdot19=6156\pi

{\ V}^\prime=6156\pi\ {cm}^3.

Pentru a calcula aria totala, vom observa asemanarea dintre cele doua conuri, raportul de asemanare fiind \frac{2}{3}. Notand cu A_l aria laterala a conului mic si cu {A\prime}_l aria laterala a conului mare, putem scrie:

\frac{A_l\ }{{A^\prime}_l\ }= \frac{4}{9}; \ A_l=\frac{4}{9}\cdot\pi\cdot27\cdot45= 540\ \pi\ {cm}^3.

A^\prime=540\pi+1215\pi+405\pi=2160\pi; A^\prime=2160\pi\ {cm}^3

Aria si volumul trunchiului de con circular drept

Prin analogie cu trunchiul de piramida, la fel ca mai sus, pentru con si cilindru, deducem:

Volumul unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right),}

Unde h este inaltimea sa, R si r razele bazelor.

Aria laterala a unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} A_l=\pi\left(R+r\right)G,}

Unde G este generatoarea, iar R si r razele bazelor sale.

Putem deduce aceste formule si din formulele corespunzatoare pentru con, astfel:

Fiind dat trunchiul de con circular drept (fig.19.6) figuram panza conica din care provine (fig.19.7) si determinam elementele x si g, din relatiile:

\frac{x}{x+h}=\frac{r}{R}=\frac{g}{g+G}

De unde: xR=r\left(x+h\right), deci x=\frac{rh}{R-r} si, analog, g=\frac{Gr}{R-r}.

Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 27
Fig. 19 6
Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 28
Fig. 19 7

Volumul trunchiului de con este diferenta volumelor celor doua conuri:

V=\frac{\pi\left(x+h\right)}{3}R^2-\frac{\pi x}{3}r^2; x+h=\frac{Rh}{R-r};

Deci:

V=\frac{\pi}{3}h\left(\frac{R^3}{R-r}-\frac{r^3}{R-r}\right)= \frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)

(se imparte R^3-r^3 la R – r ca polinoame in R in r).

Analog,

A_l=\pi R\left(G+g\right)-\pi rg;

G+g=\frac{GR}{R-r};

Deci:

A_l=\pi G\left(\frac{R^2}{R-r}-\frac{r^2}{R-r}\right)= \pi G\left(R+r\right).

Aria laterala a cilindrului si a conului

Este mult mai dificil de a defini exact ce intelegem prin aria unei portiuni dintr-o suprafata curba. In cazul nostru avem de-a face cu doua suprafete care se pot “aseza pe un plan”, fara a modifica lungimile curbelor de pe ele. Este natural sa presupunem ca aceasta “asezare” nu modifica nici ariile portiunilor din aceste suprafete, portiuni care se “aseaza” pe niste portiuni din plan.

Aria laterala a cilindrului drept

Daca sectionam cilindrul drept dupa o generatoare, obtinem o suprafata care se poate “aseza” pe un plan, devenind un dreptunghi, cu baza segmentului provenit din curba de baza a cilindrului, iar inaltimea, generatoarea dupa care a fost sectionat cilindrul. Deci:

Aria laterala a cilindrului drept = (lungimea curbei de baza) ∙ (generatoarea), unde se observa ca generatoarea este egala cu inaltimea (fig. 19.3).

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 29
Fig. 19 3

Aria totala a cilindrului se obtine adunand la aria laterala, ariile celor doua baze. Cum cele doua baze sunt congruente, ariile vor fi egale. Deci:

\large {\color{Blue} A_t=A_l+2\cdot A_b,}

Unde \large A_t,\ A_l,\ A_b sunt aria totala, aria laterala si aria bazei.

In cazul cilindrului circular drept, avand raza bazei R si generatoarea G, aria totala este:

\large {\color{Blue} A_t=2\pi RG+2\pi R^2=2\pi R\cdot\left(R+G\right).}

Observatie. Un cilindru oblic se poate transforma intr-unul drept, efectuand o sectiune printr-un plan perpendicular pe generatoare (sectiune normala) si translatand una din parti in directia generatoarei, pana cand baza ei se suprapune peste cealalta.

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 30
Fig. 19 4

Deci: aria laterala a unui cilindru oblic este egala cu lungimea sectiunii normale inmultita cu lungimea generatoarei.

Aria laterala a conului circular drept

Am vazut ca, sectionanad un con circular drept cu o generatoare, suprafata obtinuta se poate “aseaza” pe un plan, devenind un sector de cerc, avand ca raza generatoarea, iar ca arc un arc ce corespunde cercului de baza al conului (fig. 19.5).

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 31
Fig. 19 5

Cum aria unui sector de cerc este jumatate din produsul lungimii arcului sau si raza cercului, in cazul nostru \frac{1}{2}\left(2\pi R\right)G , rezulta ca:

\large {\color{Blue} A_l=\pi RG,}

Unde A_leste aria laterala, R este raza bazei conului, iar G este generatoarea sa.

Aria totala A_t a unui con circular este aria sa laterala adunata cu aria bazei sale; iar in cazul conului circular drept de raza R si generatoare G, aria totala este egala cu

\large {\color{Blue} A_t=\pi RG+\pi R^2=\pi R\left(G+R\right).}

Aria laterala a unui con oblic este mult mai dificil de calculat.

Volumul conului

Aici vom face analogia intre piramida si con. Acolo am unit un punct exterior unui poligon plan cu toate punctele poligonului.

In cazul conului, punctul exterior – varful conului – se uneste cu toate punctele unei curbe plane. Avand in vedere aceasta analogie, vom accepta ca:

Volumul conului este egal cu o treime din produsul dintre aria bazei sale si distanta varfului sau la planul bazei, numita si inaltimea conului.

Matematica Capacitate Volumul conului 32
Fig. 19 2

La fel ca la cilindru, aceasta analogie nu constituie o demonstratie riguroasa, ci doar o justificare intuitiva.

Volumul cilindrului

Am vazut ca suprafata prismatica era descrisa de o dreapta care se sprijinea pe o linie poligonala si ramanea mereu paralela cu o dreapta data a.

Am obtinut apoi prisma prin sectionarea suprafetei prismatice cu doua plane paralele.

Intr-un mod analog se obtine si cilindrul, doar ca dreapta, care genereaza suprafata cilindrica, nu se mai sprijina acum pe o linie poligonala, ci pe o linie curba.

DE asemenea, asa cum am aratat anterior, am considerat suprafata cilindrica drept “analogul curb” al suprafetei prismatice.

Vom putea accepta ca: Volumul cilindrului este egal cu aria bazei inmultita cu distanta dintre cele doua plane ale bazelor numita si inaltimea cilindrului.

Matematica Capacitate Volumul cilindrului 33
Fig. 19 1

Evident ca analogia de mai sus constituie un argument, dar nu o demonstratie riguroasa.

Probleme: Suprafete si corpuri rotunde

1. Un cilindru se desfasoara pe un plan dupa un dreptunghi, ale carui diagonale sunt egale cu 2a si formeaza intre ele un unghi de 120°. Sa se afle raza si generatoarea cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 34

BD=2πR;

m(∢DOC)=60°=>OD=OC=CD=a (generatoarea);

2\pi R=a\sqrt3=>R=\frac{a\sqrt3}{2\pi}

Sau:

CD=2\pi R=a=>R=\frac{a}{2\pi};

BD=a\sqrt3(generatoarea)

2. Un cilindru circular drept, asezat cu baza intr-un plan orizontal, are generatoarea g=6\sqrt3\ m si raza de 6 m. Se inclina cilindrul, astfel incat centrul unei baze sa se proiecteze vertical intr-un punct al cercului celelilalte baze. Ce unghi formeaza in acest caz generatoarea cu planul orizontal?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 35

tg\ \beta=\frac{1}{\sqrt3}=>

β=30°=> Unghiul cautat este de 90°-30°=60°

3. Un plan ce contine centrele celor doua baze ale unui cilindru circular drept intersecteaza cercurile celor doua baze in A si B si respectiv A’ si B’. (A, A’ sunt pe aceeasi generatoare, B, B’ la fel). Gasiti distanta dintre punctele A si B’, in functie de raza R a bazei si generatoarea G.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 36

AB^\prime=\sqrt{4R^2+G^2}

4. Un con circular drept are raza bazei de 9 cm si inaltimea 20 cm, este intersectat cu un plan paralel cu baza. La ce distanta de varf trebuie dus planul, astfel incat raza cercului de sectiune sa fie de 6 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 37

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{20}=\frac{6}{9}=> VO^\prime=\frac{40}{3}

5. Un con circular drept are diametrul bazei de 12 cm si inaltimea egala cu \frac{2}{3} din diametru. La ce distanta de varful conului trebuie facuta o sectiune printr-un plan paralel cu baza, astfel incat lungimea cercului de sectiune sa fie 9π?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 38

OA=\frac{12}{2}=6;

VO=\frac{2}{3}\cdot12=8;

2\pi\cdot O^\prime A^\prime=9\pi=>

O^\prime A^\prime=\frac{9}{2};

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{8}=\frac{\frac{9}{2}}{6} =>VO^\prime=6

6. Un con cu generatoarea de 16 cm se desfasoara pe un plan, dupa un sfert de cerc. Gasiti raza bazei conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 39

2\pi\cdot OA=2\pi\cdot16\cdot\frac{1}{4}= 2\pi\cdot4 =>OA=4

7. Intr-un trunchi de con circular drept cu R = 16 cm si r = 8 cm, se inscriu doua conuri care au ca baze, bazele trunchiului si generatoarele unuia in prelungirea generatoarelor celuilalt. Stiind ca inaltimea trunchiului este de 12 cm, sa se afle inaltimile celor doua conuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 40

⊿B’O’V∼⊿AVO =>\frac{O^\prime V}{OV}=\frac{O^\prime B}{AO}=> {\frac{O^\prime V}{OO}}^\prime=\frac{8}{24}=>

\frac{O^\prime V}{12}=\frac{1}{3}=> O’V=4; OV=8

8. Fie d o semidreapta de origine O, si un unghi ascutit θ, ambele date. Gasiti locul geometric al punctelor M din spatiu pentru care unghiul dintre OM si d este θ.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 41

MO’=sinθ∙OM;

Locul geometric este o panza conica pentru care generatoarea face cu d un unghi

9. O dreapta ce trece prin centrul unei sfere cu cu raza R = 10 cm, intersecteaza un plan α intr-un punct M, astfel ca OM = 26 cm. Stiind ca distanta de la M la proiectia lui O pe α este 24 cm, stabiliti pozitia planului α fata de sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 42

OA=\sqrt{{26}^2-{24}^2}=10=R=>

Sfera si planul sunt tangente.

10. Un plan α intersecteaza o sfera cu raza R = 0,5 m, astfel incat aria cercului de sectiune este de 4 ori mai mica decat aria unui cerc mare al sferei. Gasiti distanta de la centrul sferei la planul de sectiune.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 43

\pi R^2=4\pi{O^\prime B}^2=>

O^\prime B=\frac{R}{2}=\frac{1}{4};

OO^\prime=\sqrt{{OB}^2-{O^\prime B}^2}= \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt3}{4}

11. Fie doua sfere de centre O si O’ si raze R si R’. In fiecare din situatiile urmatoare precizati pozitiile sferelor:

  1. R = 8 cm, R’ = 4 cm, OO’ = 3 cm;
  2. R = 13, 5 cm, R’ = 4,5 cm, OO’ = 20 cm;
  3. R\ =\ 2\sqrt3\ cm, \ R^\prime=2\cdot\left(2-\ \sqrt3\right)\ cm, OO^\prime=3\ cm;
  4. R=2\cdot\left(4-\ \sqrt2\right), \ R^\prime=2\cdot\left(3-\ 2\sqrt3\right)\ cm, \ OO^\prime=1\ cm.

Rezolvare:

OO'<R^'<R: Una in interiorul celeilalte;

OO’>R+R’: exterioare;

OO'<R+R’: secante;

R'<0: imposibil.

12. Doua plane paralele intersecteaza sfera de raza R = 5 cm, dupa doua cercuri cu razele respectiv r = 3 cm si r’ = 4 cm. Aflati inaltimea zonei sferice determinata de cele doua plane.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 44

Daca planele sunt de aceeasi parte a centrului sferei:

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

O{O}''=\sqrt{25-9}=4;

O’O”=OO”-OO’=1;

Daca planele sunt de o parte si de alta a centrului sferei:

O’O”=OO”+OO’=7.

13. Gasiti locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse din punctul fix A pe planul variabil ce trece prin punctul fix B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 45

AB este constant iar m(∢AA’B)=90°, unde A’ este proiectia pe planul variabil.=> locul geometric este o sfera cu centrul pe mijlocul lui AB.

Suprafete de rotatie

Observatie. Daca aplicam unui punct M toate rotatiile in jurul unei drepte a, obtinem, daca M∉a toate punctele cercului ce trece prin M, situat in planul perpendicular pe a si care contine pe M, cerc cu centrul in proiectia lui M pe a (fig. 18.31).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 46
fig. 18 31

Definitie. Fie a o dreapta si (C) o curba. Se numeste suprafata de rotatie in jurul lui a, generata de (C), totalitatea punctelor ce se obtin aplicand punctelor de pe (C) toate rotatiile in jurul lui a. (fig. 18.32).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 47
fig. 18 32

Conform observatiei precedente, suprafata de rotatie se poate defini si ca totalitatea punctelor situate pe toate cercurile avand centrele pe a, continute in plane perpendiculare pe a si care au puncte comune cu (C).

Teorema. Suprafata de rotatie a unei drepte d in jurul unei drepte paralele cu ea este o suprafata cilindrica circulara dreapta.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 48
fig. 18 33

Demonstratie. Sa consideram suprafata cilindrica dreapta definita de un cerc (C) cu centrul pe a, situat intr-un plan α perpendicular pe a si care trece prin intersectia α cu d. (fig. 18.33). Dreapta d va fi o generatoare a ei, deci va fi continuta in ea. Sectiunile acestei suprafete, prin plane perpendiculare pe a, vor fi toate cercurile de raze congruente cu razele lui (C), cu centrele pe a. Deci, cu centrul in orice punct dat a lui a, putem duce, intr-un plan perpendicular pe a, un cerc care intalneste d. Aceste cercuri “umplu” suprafata de rotatie.

Teorema. Suprafata de rotatie a unei semidrepte d in jurul unei drepte a ce trece prin originea ei O, neperpendiculara pe d, este o panza conica circulara dreapta.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 49
fig. 18 34

Demonstratie. Sa luam un punct M pe d si sa consideram cercul (C) cu centrul in proiectia N a lui M pe a, situat in planul α ce trece prin M perpendicular pe a (fig. 18.34). Cum d⊥a, N≠O=>O∉α si cum d≠a, avem N≠M.

Fie panza conica circulara dreapta generata de O si (C). Dreapta d este o generatoare a ei, iar sectiunile ei prin toate planele β paralele cu planul α sunt cercurile cu centrele in intersectia lui β cu a si care trec prin intersectia lui β cu d. Acestea sunt toate cercurile ce constituie suprafata de rotatie in discutie.

Observatie. Daca d⊥a, atunci suprafata de rotatie este planul perpendicular in O pe a.

Teorema. a) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte paralele cu el este un cilindru circular drept.

b) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte ce trece prin unul din capetele lui, neperpendicular pe ea, este un con circular drept.

c) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte, coplanara cu el, ce nu-l intersecteaza si nu e nici paralela nici perpendiculara pe el, este un trunchi de con circular drept. Demonstratia ei constituie o consecinta imediata a celor de mai sus.

Observatie. In cazurile b), c) din teorema, daca dreapta este perpendiculara pe segment, se obtine un cerc (inclusiv interiorul sau), respectiv o coroana circulara (cuprinsa intre doua cercuri concentrice) (fig. 18.35).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 50
fig. 18 35

Teorema. Suprafata de rotatie a unui cerc (C) in jurul unui diametru al sau este o sfera.

Demonstratie. Fie R raza lui (C). Fie (S) sfera de centru O, egal cu centrul cercului (C) de raza R. Daca  este planul lui (C), atunci (C) este intersectia lui α cu (S).

Fie a o dreapta care trece prin centrul cercului (C) si care este continuta in planul sau. Sa consideram un plan arbitrar β⊥a, care intersecteaza sfera (fig. 18.36). El se intersecteaza cu a intr-un punct M din interiorul lui (C), deci dreapta d=α∩β intersecteaza (C) in doua puncte P si Q. Stim ca β taie sfera dupa un cerc, care trece prin P si Q, avand drept centru proiectia lui O pe β, care este M. Aceste cercuri “vor umple” suprafata de rotatie.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 51
fig. 18 36

Definitie. Suprafata de rotatie a unui arc de cerc, mai mic decat un semicerc, in jurul unui diametru ce trece prin unul din capetele sale, se numeste calota sferica. Daca diametrul nu intalneste deloc arcul, suprafata se numeste zona sferica.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 52
fig. 18 37

Din cele de mai sus, rezulta ca o calota sferica poate fi considerata un caz particular de zona sferica.

Sa consideram un plan α si pe el doua drepte d si c, formand un unghi ascutit in N (fig. 18.38).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 53
fig. 18 38

Asezam d pe generatoarea unui cilindru circular drept si infasuram apoi planul pe cilindru, astfel incat N’ sa vina in N si M sa se afle pe d. (Bineinteles am presupus ca lungimea cercului de baza al cilindrului este egala, ca masura, cu segmentul NN’.) Perpendiculara in N pe d se va infasura pe cercul de baza al cilindrului. Dreapta c se va infasura determinand o curba numita elice. Filetul unui surub este o elice.

Problema rezolvata. Un con circular drept de raza R si inaltime 2R este intersectat cu o sfera cu diametrul cat inaltimea conului si cu centrul la jumatatea inaltimea conului, dupa un cerc. Sa se afle raza cercului de sectiune, in functie de R.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 54
fig. 18 39

Din triunghiul dreptunghic VOB (fig.18.39) deducem {VB}^2={VO}^2+{OB}^2. Deci, {VB}^2={VO}^2+{OB}^2

Observam ca triunghiul VNO este, de asemenea, dreptunghic, fiind inscris intr-un semicerc, deci VN este proiectia lui VO pe VB. Deducem ca: 4R^2=VB\cdot VN; VN=\frac{4R^2}{\sqrt5R}= \frac{4R}{\sqrt5}. Din ⊿VO’N∼⊿VOB, unde O’ este centrul cercului de sectiune si x raza sa, deducem:

\frac{VN}{VB}= \frac{x}{R}; \frac{\frac{4R}{\sqrt5}}{R\sqrt5}=\frac{x}{R}, \ X=\frac{4R}{5}.

Tangenta suprafetelor curbe

In cazul cand intersectia dintre o sfera si un plan este formata dintr-un singur punct, spunem ca planul este tangent la sfera. (fig. 18.29).

Matematica Capacitate Tangenta suprafetelor curbe 55
fig. 18 29

In cazul cand intersectia a doua sfere este formata dint-un singur punct, spunem ca sferele sunt tangente.

Nu intotdeauna doua suprafete tangente au un singur punct comun. Fara a incerca sa definim riguros tangenta suprafetelor, dam cateva exemple (fig. 18.30).

Matematica Capacitate Tangenta suprafetelor curbe 56
fig 18 30

Sfera

Definitie. Se numeste sfera de centru O si raza R > 0, locul geometric al tutror punctelor M din spatiu, pentru care OM = R.

Matematica Capacitate Sfera 57
fig 18 23

Teorema. Intersectia dintre un plan si o sfera este sau vida, sau formata dintr-un singur punct, sau un cerc avand drept centru proiectia centrului sferei pe acel plan.

Matematica Capacitate Sfera 58
fig. 18 24; fig. 18 25; fig. 18 26

Demonstratie. Fie O centrul sferei, R raza sa si fie α un plan. Ceea ce cere enuntul este de a determina locul geometric al punctelor M din α, pentru care OM=R.

Fie P piciorul perpendicularei din O pe planul α.

Daca R < PO, cum OM > OP, oricare ar fi M∈ α, atunci nu exista puncte M pentru care OM = R (fig. 18.24).

Daca R = OP, atunci OM = R, M∈α este posibil numai pentru M=P (fig. 18.25), oblicele fiind mai lungi decat perpendiculara. In acest caz, intersectia se reduce la punctul P.

Daca R > OP, atunci OM = R este echivalent cu MP=\sqrt{R^2-{OP}^2} deoarece OP⊥PM, si deci, intersectia este cercul de centru P si raza \sqrt{R^2-{OP}^2}(fig.18.26).

Teorema. Intersectia a doua sfere distincte este sau vida, sau formata dintr-un singur punct, sau un cerc.

Matematica Capacitate Sfera 59
fig. 18 27

Demonstratie. Este clar ca daca sferele sunt concentrice distincte intersectia lor este vida.

Matematica Capacitate Sfera 60
fig. 18 28

Fie O, O’ centrele sferelor si R, R’ razele lor. Fie M un punct comun al celor doua sfere. Avem MO = R si MO’ = R’, OO’ = constant (fig. 18.27).

Existenta lui M reclama OO’ ≤OM+O^’ M=R+R’. Deci daca R+R^'<OO’, intersectia este vida (fig. 18.28). Acelasi lucru se intampla daca OO’<|R-R’|.

Daca OO’=R+R’ sau daca OO’=|R-R’|, atunci M trebuie sa se afle pe OO’, intr-un punct bine determinat de OM = r, O’M=R’, deci, in acest caz, intersectia se reduce la un punct.

In fine, daca |R-R’|<OO^'<R+R’, atunci, in orice plan ce trece prin dreapta OO’, putem construi un triunghi (neredus la o dreapta) MOO’ cu MO = R, MO’ = R’.

Sa observam ca triunghiul MOO’ este bine determinat, fiind date varfurile O, O’ ca si lungimile laturilor OM si O’M. In particular, lungimile OP si MP, unde P este piciorul perpendicularei din M pe OO’, sunt bine determinate (faptul ca P este de aceeasi parte a lui O ca si O’ sau nu, de asemenea, este bine determinat), P este deci fix. M este situat in planul β perpendicular pe OO’ in P, la distanta fixa de P, deci descrie un cerc de centru P, situat in planul β.