Teorema lui Menelaos

Teorema lui Menelaos. Daca o dreapta d ce nu trece prin niciunul din varfurile unui triunghi ABC taie dreptele BC, CA, AB respectiv in M, N, P, atunci \inline {\color{Blue} \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1.}

Convenim, la fel ca in cazul puterii unui punct fata de un cerc, sa consideram ca \inline \frac{MB}{MC} este negativ daca M se afla in interiorul segmentului BC si pozitiv daca M se afla pe dreapta BC, dar nu in interiorul segmenteului BC. Valoarea +1 din enuntul teoremei spune ca sunt doua posibilitati: doua din punctele M, N, P sunt in interioarele segmentelor respective iar al treilea nu. (fig. 1.71) sau niciunul dintre cele trei puncte nu se afla in interiorul segmentului respectiv. (fig. 1.72)

Matematica Capacitate Teorema lui Menelaos 1

Matematica Capacitate Teorema lui Menelaos 2

Aceasta teorema ne da posibilitatea sa imaginam o metoda de a demonstra ca trei puncte sunt coliniare.

Teorema lui Ceva ne o fera o metoda de a demonstra ca trei drepte sunt concurente.

Reciproca teoremei lui Menelaos. Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, și respectiv, AB diferite de vârfurile A, B, C. Dacă \inline {\color{Blue} \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1} atunci punctele M, N, P sunt coliniare.

Matematica Capacitate Teorema lui Menelaos 3

Presupunem ca punctele nu sunt coliniare, deci PN∩CB={M’}

Conform ipotezei: \inline \frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1. Dar, aplicand teorema lui Menelaos obtinem: \inline \frac{M\prime B}{M\prime C}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=+1

\inline \frac{MB}{MC}=\frac{M^\prime B}{M^\prime C}=>\inline \frac{MB-MC}{MC}=\frac{M^\prime B-M^\prime C}{M^\prime C}=>\inline \frac{BC}{MC}=\frac{BC}{M^\prime C}=>\inline MC=M^\prime C

M=M’ ceea ce contrazice presupunerea de mai sus.

Teorema bisectoarei

Teorema bisectoarei.  Bisectoarele interioara si exterioara a unui unghi dintr-un triunghi, impart latura opusa intr-un raport, egal cu raportul laturilor ce formeaza unghiul.

Matematica Capacitate Teorema bisectoarei 4

Ipoteza: ∢DAB≡∢DAC,∢EAB’≡∢EAC

Concluzie\inline \frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}

Demonstratia o vom schita numai. Alegem pe dreapta AB punctele D’, E’ astfel incat AD’≡AE’≡AC, D’ fiind pe semidreapta AB’ iar E’ pe semidreapta AB. Se arata ca CD’∥AD, CE’∥AE si se aplica teorema lui Thales in ∆BD’C intersectat de AD si in ∆BAE intersectat de CE’ etc.

Pe baza teoremei bisectorei vom rezolva:

Problema. Fiind date doua puncte A, B si un numar k diferit de l, sa se afle locul geometric al tuturor punctelor M pentru care \inline \frac{MA}{MB}=k (fig. 1.69).

Matematica Capacitate Teorema bisectoarei 5

Rezolvare:

Sa ducem bisectoarea interioara si cea exterioara a unghiului AMB. Ele vor intersecta dreapta AB in doua puncte C si D astfel incat, conform teoremei bisectoarei, \inline \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k. Deci punctele C si D sunt fixe, nu depind de M, ci doar de A, B si k. Avem si MC⊥MD…, deci M se afla pe cercul de diametru CD.

Pentru a rezolva complet problema, urmeaza sa demonstram ca orice punct M de pe cercul de diametru CD are proprietatea \inline \frac{MA}{MB}=k. Aceasta demonstratie intampina greutati mai mari decat ne asteptam. Vom proceda prin urmatoarea metoda. Vom alege un punct M pe cercul de diametru CD, vom considera dreapta CM si simetricul B’ a lui B fata de CM (fig. 1.70).

Matematica Capacitate Teorema bisectoarei 6

Despre punctele C si D stim ca au proprietatea ce trebuie stabilita, deci presupunem ca M este diferit de aceste puncte. Rezulta ca CM nu este perpendiculara pe AB, deci B’ nu se aflta pe AB si dreapta AB’ intersecteaza CM intr-un punct M’ (acest ultim fapt rezulta din BC≢CA, deci AB’∦CM Rezulta usor ca M’C este bisectoarea ∢AM’B, deci (teorema bisectoarei) \inline \frac{M^\prime A}{M^\prime B}=\frac{CA}{CB}=k.

Conform primei parti a rezolvarii, M’ se va afla pe cercul de diametru CD. Dar dreapta CM nu poate avea mai mult de doua puncte comune cu acest cerc, deci M’= M si \inline \frac{MA}{MB}=k.

Observatie. Pentru k = 1, locul geometric din problema este mediatoarea segmentului AB.

Cercurile ce apar ca locuri geometrice ale tuturor M cu \inline \frac{MA}{MB}=k, pentru un segment AB si pentru diversi k = 1, se numesc cercurile lui Apollonios.

Probleme teorema generalizata a lui Pitagora

1.Care sunt toate valorile ce le ia cos x, cand x variaza de la 0° la 180°? De cate ori este luata fiecare dintre aceste valori?

Rezolvare:

0° ≤ x ≤ 180° => -1 ≤ cos x ≤ 1 ; o singura data.

2.Aceleasi intrebari ca la problema 1 pentru sin x.

Rezolvare:

0° ≤ x ≤  180°=> 0 ≤ sin x ≤ 1; de doua ori in afara de capete.

3.“Rezolvati ecuatiile” cos x = 0,75; cos x = -0,39; cos x = 1,6 precum si sin x = 0,4; sin x = – 0,34, sin x = 2.

Rezolvare:

Cos x = sin (90°-x) = 0,75 => 90°-x = 49° => x=41°

Cos x = – cos (180°-x) => cos (180°-x) = 0,39 => sin (90°-180°+x) = 0,39  =>x -90° = 22° => x = 112°

Stim ca -1 ≤ cos x ≤ 1 => cos x = 1,6 este o valoare imposibila.

sin x = 0,4 => x=23°…

Stim ca 0 ≤ sin x ≤ 1 , =>sin x=2 este o valoare imposibila.

4.Sa se arate ca relatia sin2x + cos2x = 1 este adevarata pentru orice x cuprins intre 0° si 180°.

Rezolvare:

Pentru 0° ≤ x ≤ 90°putem aplica teorema lui Pitagora intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de marimea x.

Pentru 90° ≤ x ≤ 180° stim ca
cos x = – cos (180°-x); sin x = sin (180° – x)  si putem aplica teorema lui Pitagora intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de marimea 180°- x.

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 7

In ambele cazuri conform figurii vom avea: \inline \sin{x}=\frac{c}{a};\cos{x}=\frac{b}{a}=>

\inline \ {sin}^2x+{cos}^2x=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1

5.Exprimati, pentru 0° < x < 90°, sin (90° + x) si cos (90° + x) in functie de sin x, cos x.

Rezolvare:

Pentru 90° ≤ x  ≤ 180° stim ca

Cos x = -cos (180°-x); sin x = sin (180° – x)

Sin (90°+x) = sin (180°-90°-x) = sin (90°-x) = cos x;

Cos (90°+x) = -cos (180°-90°-x) = -cos (90°-x) = -sin x

6.Este adevarat ca \inline cosx=\sqrt{1-\sin^2x} pentru orice x intre 0° si 180°? Dar \inline sinx=\sqrt{1-\cos^2x}?

Rezolvare:

Pentru valorile 90° ≤ x  ≤ 180° cosinus este negativ, iar valoarea extrasa de sub radical poate fi pozitiva, deci nu este adevarat. In al doilea caz, relatia este adevarata.

7.In problema rezolvata 2, figura 1.64, determinati lungimea AB fara a mai duce perpendiculara din B pe AC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 8

Ipoteza:         BC=10, m(∢B)=25°, m(∢C)=40°

Concluzie: AB=?

m(∢BAC)=180°-40°-25°=115°;m(∢DAC)=65°;

m(DCA)=25°;m(DCB)=65°

BD=10∙cos  25° =10∙sin 65°=9,06

CD=10∙cos 65° =10∙sin 25°=4,23 ;

AD= 4,23∙tg 25°=  4,23∙0,46=1,97;

AB=9,06-1,97=7,09

8.Un triunghi are unghiurile de 60°, 45° si 75° iar latura dintre unghiurile de 75° si 45° de 4 cm.

  1. Determinati lungimile celorlalte laturi.
  2. Folosind si metoda gasita in problema 7, deduceti o expresie exacta pentru sin 75° si cos 75°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 9

Ducem AD⊥BC.

\inline AD=AB\cdot\sin{45^{\circ}}=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2;

\inline BD=AB\cdot\cos{45^{\circ}}=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2;

\inline AD=DC\cdot tg\ 60^{\circ}=>DC=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}=>

\inline BC=2\sqrt2+\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}=2\sqrt2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right);

\inline AC=AD\cdot\frac{1}{\sin{60^{\circ}}}=2\sqrt2\cdot\frac{2}{\sqrt3}=4\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 10

\inline EC=2\sqrt2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)\cdot\sin{45^{\circ}}\inline =\frac{\sqrt2}{2}\cdot2\sqrt2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right);

\inline \sin{75^{\circ}}=\frac{2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)}{4\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2};

\inline \cos{75^{\circ}}=\frac{EA}{AC};  \inline EA=4-2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\left(2-1-\frac{1}{\sqrt3}\right)=\inline 2\left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right);

\inline \cos{75^{\circ}}=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}

9.Cele trei laturi ale unui triunghi au lungimile de 10, 12 si 8.

  1. Calculati lungimile medianelor acestui triunghi.
  2. Calculati unghiurile dintre mediane si laturile corespunzatoare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 11

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot cosA;

\inline 100=144+64-192\cdot\cos{A}=>\cos{A=\frac{108}{192}}

\inline {BN}^2={AB}^2+{AN}^2-2AB\cdot AN\cdot cosA=\inline 144+16-96\frac{54}{96}=106;

\inline BN=\sqrt106

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B};

\inline 64=100+144-240\cdot\cos{B}=>\cos{B}=\frac{180}{240}

\inline {CP}^2={PB}^2+{BC}^2-2BC\cdot PB\cdot\cos{B}=\inline 36+100-120\cdot\frac{180}{240}=46;

\inline CP=\sqrt{46}

\inline {AB}^2={BC}^2+{AC}^2-2BC\cdot AC\cdot\cos{C};

\inline 144=100+64-160\cdot\cos{C}=>\cos{C}=\frac{1}{8}

\inline {MA}^2={MC}^2+{AC}^2-2MC\cdot AC\cdot\cos{C}=\inline 25+64-80\cdot\frac{1}{8}=79;

\inline MA=\sqrt{79}

\inline {NC}^2={BC}^2+{BN}^2-2BC\cdotBN\cdot\cos{NBC};

\inline 16=100+106-20\sqrt106\cdot\cos{NBC}=>

\inline \cos{NBC}=\frac{96}{20\sqrt106}=\frac{24}{5\sqrt106}=0,48=>

90°-m(∢NBC)=29°=>m(∢NBC)=61°

Se aplica teorema generalizata a lui Pitagora si pentru a calcula marimile cosinusurilor celorlalte unghiuri.

10. Un triunghi are doua laturi de 8 si 11, iar unghiul cuprins intre ele de 60°. Calculati lungimea celei de a treia laturi si masurile celorlalte doua unghiuri.

Rezolvare:

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B}=\inline 64+121-176\cdot\frac{1}{2}=97

\inline =>AC=\sqrt{97}

\inline {AB}^2={BC}^2+{AC}^2-2BC\cdot AC\cdot\cos{C}=>

\inline 64=121+97-22\sqrt{97}\cdot\cos{C}=>

\inline \cos{C}=\frac{154}{22\sqrt{97}}=0,71

Sin (90°-C)=>  90°-C=45°=>

m(∢C)=45°;m(∢A)=75°

11.Un triunghi isoscel are laturile congruente de 8, iar unghiul din varf de 45°. Calculati baza sa, inaltimea corespunzatoare bazei. Deduceti valorile exacte ale lui sin 22°30’ si cos 22°30’ (in expresiile lor vor aparea, bineinteles, radicali).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 12

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot cosA=\inline 128-128\cdot\frac{\sqrt2}{2}=128-64\sqrt2;

\inline BC=8\sqrt{2-\sqrt2}

Triunghiul fiind isoscel, inaltimea din A este si mediana si bisectoare, deci aplicam teorema lui Pitagora in unul din cele doua triughiuri noi formate.

\inline h^2=64-32+16\sqrt2=32+16\sqrt2;

\inline h=4\sqrt{2+16\sqrt2}

\inline \sin{22^{\circ}\ {30}^\prime}=\frac{4\sqrt{2-\sqrt2}}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2};

\inline \cos{22^{\circ}\ 30{}'}=\frac{4\sqrt{2+16\sqrt2}}{8}=\frac{\sqrt{2+16\sqrt2}}{2}

12.Rezolvati problema 11 cu un unghi oarecare x in loc de 45°.

Rezolvare:

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot\cos{x}\inline =128-128\cdot\cos{x}=>

\inline BC=8\sqrt{2-2\cos{x}}

\inline h^2=64-\left(4\sqrt{2-2\cos{x}}\right)^2\inline =64-16(2-2\cos{x)=32+32\cos{x}}=>

\inline h=4\sqrt{2+2\cos{x}}

\inline \cos{\frac{x}{2}}=\frac{4\sqrt{2+2\cos{x}}}{8}\inline =\frac{\sqrt{2+2\cos{x}}}{2}

\inline \sin{\frac{x}{2}}=\frac{4\sqrt{2-2\cos{x}}}{8}\inline =\frac{\sqrt{2-2\cos{x}}}{2}

13.Laturile unui triunghi ABC au lungimile de AB = 6, BC = 7, CA = 8. Pe latura BC se alege un punct D astfel ca BD = 3. Determinati lungimea AD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 13

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B};

\inline 64=49+36-84\cdot\cos{B}=>\cos{B}=\frac{21}{84}=\frac{1}{4}

\inline {AD}^2={BD}^2+{AB}^2-2BD\cdot AB\cdot\cos{B}=\inline 9+36-36\cdot\frac{1}{4}=>AD=6

14.Un triunghi are o latura de 12, unghiul opus de 56°, iar unul din celelalte unghiuri este de 62°. Determinati raza cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 14

m(∢C)=180°-62°-56°-62°=>⊿ABC este isoscel, mediatoarea laturii AC trece prin B, iar BN este si bisectoare. => \inline \sin{28^{\circ}\ }=\frac{6}{BC}

\inline \cos{28^{\circ}=\frac{BC}{2r}};r=\frac{\frac{6}{\sin{28^{\circ}}}}{2\cos{28^{\circ}}}=\inline \frac{3}{\sin{28^{\circ}}\cdot\cos{28^{\circ}}}=\frac{3}{0,47\cdot0,88}=7,32

15.In problema precedenta, determinati si raza cercului inscris in triunghi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 15

⊿OAM∼⊿CBM => \inline =>\frac{AM}{BM}=\frac{OM}{MC}=>\frac{6}{6\cdot c t g28^{\circ}}=\frac{r}{6}\inline =>\frac{1}{tg62^{\circ}}=\frac{r}{6}=>

r=3,1

16.Doua laturi ale unui triunghi au lungimile de 9 si 14, unghiul cuprins intre ele este de 40. Calculati lungimea bisectoarei corespunzatoare laturii de 9.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 16

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B};

\inline {AC}^2=196+81-252\cdot\sin{50^{\circ}}=\inline 277-252\cdot0,77=82,96=>AC=9,11

\inline {AB}^2={BC}^2+{AC}^2-2BC\cdot AC\cdot\cos{C};

\inline \ 81=196+83-255\cdot\cos{C}=>\inline \cos{C}=\frac{198}{255}=0,77=>

m(∢C)=40°

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 17

\inline \sin{80^{\circ}}=\frac{EC}{AC}=>EC=0,98\cdot9,11=8,92;

\inline \cos{30^{\circ}}=\frac{EC}{CD}=>CD=\frac{8,92}{0,87}=10,25

17. Laturile unui paralelogram au lungimile de 5 si 8, iar unul din unghiurile sale are 50.

  1. Calculati lungimile diagonalelor
  2. Calculati unghiurile dintre diagonale si laturi
  3. Calculati unghiul dintre diagonale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 17

\inline {BD}^2={AB}^2+{AD}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos{A}\inline =64+25+80\cdot\sin{40^{\circ}}=\inline 89+51,2=140,2=>BD=11,84

\inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos{B}\inline =64+25-80\cdot\sin{40^{\circ}}=\inline 89-51,2=37,8=>BD=6,14

\inline {AB}^2={AC}^2+{BC}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos{ACB}=>\inline 25=37,8+64-98,24\cdot\cos{ACB}=>\cos{ACB}=\sin{\left(90-ACB\right)}\inline =\frac{76,8}{98,24}=0,78=>

m(∢ACB)=90°-52°=38°=>

m(∢BAC)=180°-50-38°=92°;

\inline {BC}^2={BD}^2+{DC}^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot\cos{CDB}=>\inline 64=140,2+25-118,4\cdot\cos{CDB}=>\inline \cos{CDB}=\sin{\left(90^{\circ}-CDB\right)}=\frac{101,2}{118,4}=0,85=>

m(∢CDB)=90°-58°=32°

m(∢AOB)=180°-32°-92°=56°

18. Distanta dintre centrele a doua cercuri de raze 9 si 13 este de 20.

  1. Calculati lungimea coardelor lor comune.
  2. Calculati unghiul dintre tangentele la cele doua cercuri intr-unul din punctele lor de intersectie.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 19

\inline {AO}^2={AO^\prime}^2+{O^\prime O}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OO^\prime\cdot\cos{AO^\prime O}=>\inline 81=169+400-520\cdot\cos{AO^\prime O}=>\cos{AO^\prime O}=\frac{488}{520}

AB⊥OO’ in triunghiurile isoscele AOB si AO’B, OO’ este bisectoare deci este si inaltime si mediana.

\inline \sin{AO^\prime O}=\frac{AM}{AO^\prime}=\sqrt{1-({\frac{488}{520})}^2}=\inline \frac{48\sqrt{14}}{520}=\frac{8\sqrt{14}}{65}=\frac{AM}{13}=>\inline AM=13\cdot\frac{8\sqrt{14}}{65}=\frac{8\sqrt{14}}{5}=>\inline AB=\frac{16\sqrt{14}}{5}

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 20

In triunghiul OAO’ trebuie sa determinam masura unghiului NAP.

m(∢AON)+m(∢OAM)=90°=m(∢OAM)+m(∢MAP)=>

∢MAP≡∢AON

m(∢AO’P)+m(∢O’AM)=90°=m(∢O’AM)+m(∢MAN)=>

∢MAN≡∢AO’P

m(∢NAP)=m(∢MAP)+∢MAN=m(∢AO’P)+m(∢AON)=180°-m(∢OAO’)

\inline {OO^\prime}^2={AO}^2+{O^\prime A}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OA\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline 400=81+169-2\cdot9\cdot13\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline \cos{OAO^\prime}=-\frac{150}{234}=>\inline \cos{\left(180^{\circ}-OAO^\prime\right)}=\cos{NAP}=\frac{150}{234}=\frac{75}{117}

19. Aceeasi problema, distanta dintre centre fiind de 5.

Rezolvare:

Vom folosi figurile de la problema anterioara.

\inline {AO}^2={AO^\prime}^2+{O^\prime O}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OO^\prime\cdot\cos{AO^\prime O}=>\inline 81=169+25-130\cdot\cos{AO^\prime O}=>\cos{AO^\prime O}=\frac{113}{130}

\inline AB\bot OO\prime in triunghiurile isoscele AOB si AO’B, OO’ este bisectoare deci este si inaltime si mediana.

\inline \sin{AO^\prime O}=\frac{AM}{AO^\prime}=\sqrt{1-({\frac{113}{130})}^2}=\frac{9\sqrt{51}}{130}=\frac{AM}{13}=>

\inline AM=13\cdot\frac{9\sqrt{51}}{130}=\frac{9\sqrt{51}}{10}=>AB=\frac{18\sqrt{51}}{10}

In triunghiul OAO’ trebuie sa determinam masura unghiului NAP.

m(∢AON)+m(∢OAM)=90°=m(∢OAM)+m(∢MAP)=>

∢MAP≡∢AON

m(∢AO^’ P)+m(∢O’AM)=90°=m(∢O’AM)+m(∢MAN)=>

∢MAN≡∢AO’P

m(∢NAP)=m(∢MAP)+∢MAN=m(∢AO’P)+m(∢AON)=180°-m(∢OAO’)

\inline {OO^\prime}^2={AO}^2+{O^\prime A}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OA\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline 25=81+169-2\cdot9\cdot13\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline \cos{OAO^\prime}=-\frac{225}{234}=>\cos{\left(180-OAO^\prime\right)}=\cos{NAP}=\frac{225}{234}=\frac{25}{26}

20. Bazele unui trapez au 15 respectiv 9 ca lungime iar laturile neparalele au 11 si 13.

  1. Unghiurile ascutite ale trapezului sunt alaturate sau opuse?
  2. Calculati lungimile diagonalelor trapezului.
  3. Calculati unghiurile trapezului.
  4. Calculati unghiurile dintre diagonale si laturi.
  5. Calculati unghiul dintre diagonale.

Incercati sa rezolvati fiecare din puncte bazandu-va pe cat mai putine din rezultatele punctelor precedente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 21

Ducem prin D o paralela la BC. DMBC este paralelogram avand laturile opuse paralele.=>DC=MB;AM=AM-DC=15-9=6

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DAM.

\inline {DM}^2={AD}^2+{AM}^2-2\cdot AM\cdot AD\cdot\cos{DAM};

\inline 169=121+36-132\cdot\cos{DAM};

\inline \cos{DAM}=-\frac{12}{132}=>unghiul\ A\ este\ obtuz

Ajustam figura:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 22

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DAB:

\inline {DB}^2={AD}^2+{AB}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos{DAB};\inline {DB}^2=121+225-2\cdot11\cdot15\cdot\left(-\frac{12}{132}\right)=376 \inline =>DB=2\sqrt{94}

m(∢ADC)+m(∢DAB)=180°

Cos DAB = –  cos (180°-DAB) = – cos ADC \inline =>\cos{ADC}=\frac{1}{11}

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul ADC:

\inline {AC}^2={AD}^2+{DC}^2-2\cdot DC\cdot AD\cdot\cos{ADC}= \inline 121+81-2\cdot11\cdot9\cdot\frac{1}{11}=111\inline =>AC=\sqrt{111}

Daca \inline \cos{ADC}=\frac{1}{11}=>\inline \sin{ADC}=\ \frac{2\sqrt{30}}{11}=0,99=>

m(∢ADC)=89°;

m(∢DAM)=180°-89°=101°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCB:

\inline {DB}^2={DC}^2+{BC}^2-2\cdot DC\cdot BC\cdot\cos{DCB}=>\inline 376=81+169-2\cdot9\cdot13\cdot\cos{DCB}=>\inline \cos{DCB}=-\frac{126}{234};  \inline \cos{\left(180^{\circ}-DCB\right)}=\frac{7}{13}; \inline \sin{\left(180^{\circ}-DCB\right)}=\frac{2\sqrt{30}}{13}=0,84

m(∢DCB)=180°-57°=123°; m(∢CBA)=57°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DBA:

\inline {DA}^2={DB}^2+{AB}^2-2\cdot DB\cdot AB\cdot\cos{DBA}=> \inline 121=376+225-2\cdot2\sqrt{94}\cdot15\cdot\cos{DBA}=>

\inline \cos{DBA}=\frac{480}{2\cdot2\sqrt{94}\cdot15}= \inline \frac{8}{\sqrt{94}};\sin{DBA}=\sqrt{\frac{15}{47}}=0,56;

m(∢DBA)=34°;m(∢DBC)=23°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCA:

\inline {DA}^2={DC}^2+{AC}^2-2\cdot DC\cdot AC\cdot\cos{DCA}=> \inline 121=81+111-18\cdot\sqrt{111}\cdot\cos{DCA}=> \inline \cos{DCA}=\frac{71}{18\sqrt{111}}=0,37;\sin{DCA}=0,93;

m(∢DCA)=69°;m(∢ACB)=54°

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 23

m(∢CMB)=180°-54°-23°=103°

21. Bazele unui trapez sunt lungi de 16 si 4, una din laturile neparalele are 6, iar una din diagonale 12. Rezolvati pentru acest trapez punctele a-e din problema precedenta.

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 24

Stim ca intr-un triunghi una dintre laturi este mai mare decat diferenta celorlalte doua si mi mica decat suma lor, deci pentru a fi a treia latura intr-un triunghi, diagonala de 12 trebuie sa fie mai mare decat 10 si mai mica decat 22 sau mai mare decat 8 si mai mica decat 16. Observam ca indeplineste doar conditiile din prima situatie, deci, conform desenului, este vorba de BD.

In triunghiul DAB aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DB}^2={AD}^2+{AB}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos{DAB}; \inline 144=36+256-12\cdot16\cdot\cos{DAB}; \inline \cos{DAB}=\frac{148}{12\cdot16}=\frac{37}{48};

Sin DAB=0,64=>m(∢DAB)=39°

In triunghiul MCB (MC fiind paralel cu AD) aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {BC}^2=36+144-2\cdot6\cdot12\cdot\frac{37}{48}=69=> \inline BC=\sqrt{69}=8,31; \inline {MC}^2={CB}^2+{MB}^2-2\cdot CM\cdot CB\cdot\cos{CMB}=> \inline 36=69+144-2\cdot\sqrt{69}\cdot12\cdot\cos{CBM}=> \inline \cos{CBM}=\frac{177}{24\sqrt{69}}=0,89=> \inline \sin{CBM}=0,45=> m(∢CMB)=26°

In triunghiul ACB aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos{CBA}= \inline 69+256-2\cdot16\cdot\sqrt{69}\cdot\frac{177}{24\sqrt{69}}=89; \inline AC=\sqrt{89}

m(∢DCB)=180°-m(∢B)=154°;

m(∢ADC)=180°-m(∢A)=141°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCA:

\inline {DA}^2={DC}^2+{AC}^2-2\cdot DC\cdot AC\cdot\cos{DCA}=> \inline 36=16+89-8\cdot\sqrt{89}\cdot\cos{DCA} \inline \cos{DCA}=\frac{69}{8\sqrt{89}}=0,91;\sin{DCA}=0,41=>

m(∢DCA)=24°; m(∢DAC)=180°-24°-141°=15°

m(∢ACB)=m(∢DCB)-24°=130°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCB:

\inline {DC}^2={DB}^2+{BC}^2-2\cdot DB\cdot BC\cdot\cos{CBD}=> \inline 16=144+69-24\cdot\sqrt{69}\cdot\cos{CBD}=> \inline \cos{CBD}=\frac{197}{24\sqrt{69}}=0,99; \inline \sin{CBD=}0,14=>

m(∢CBD)=8°;m(∢CDB)=18°

22. Din doua puncte ale unei drepte departate intre ele cu 4 ducem doua segmente perpendiculare pe acea dreapta de lungimi 5 si 7. Care este distanta dintre celelalte capete ale acestor segmente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 25

Consideram doua situatii:

1.Perpendicularele sunt de aceeasi parte a dreptei, si in acest caz aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul EDC: \inline {CE}^2={CD}^2+{DE}^2=>CE=2\sqrt5.

2.Perpendicularele sunt de o parte si de alta a dreptei. Notam

BH=x; HG=4-x; ∢EHB ≡ ∢FHG=>

\inline ctgEHB=ctgFHG=\frac{x}{7}=\frac{4-x}{5}=> \inline 5x=28-7x=> \inline x=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}; \inline 4-x=\frac{5}{3};

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile EHB si FHG pentru a determina EH si HF =>

\inline EF=EH+HF= \inline \sqrt{49+\frac{49}{9}}+\sqrt{25+\frac{25}{9}}= \inline \sqrt{\frac{49\cdot10}{9}}+\sqrt{\frac{25\cdot10}{9}}=\inline \frac{7}{3}\cdot\sqrt{10}+\frac{5}{3}\cdot\sqrt{10}=4\sqrt{10}.

23. Intr-un patrulater convex ABCD avem AB = 13, BC = 25, CD = 26, DA = 12\inline \sqrt{2}, iar BD = 17. Calculati lungimea diagonalei AC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 26

In triunghiul ABD aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {AD}^2={AB}^2+{BD}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos{ABD}; \inline 288=169+289-442\cdot\cos{ABD}; \inline \cos{ABD}=\frac{170}{442}=\frac{5}{13}=0,38; \inline \sin{ABD}=0,93=>

m(∢ABD)=68°

In triunghiul DBC aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DC}^2={CB}^2+{BD}^2-2\cdot CB\cdot BD\cdot\cos{DBC}; \inline 676=625+289-2\cdot17\cdot25\cdot\cos{DBC}; \inline \cos{DBC}=\frac{7}{25}=0,28; \inline \sin{DBC}=\ 0,96=>

m(∢DBC)=72°

m(∢ABC)=72°+68°=140°

\inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos{ABC}= \inline 169+625+2\cdot13\cdot25\cdot0,76=1288 \inline =>AC=35,9

24. In problema 23 calculati si unghiurile patrulaterului, unghiurile dintre diagonale si laturi, unghiul dintre diagonale.

Rezolvare:

In triunghiul ABC aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DB}^2={DC}^2+{BC}^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot\cos{BCD}=> \inline 289=625+676-2\cdot25\cdot26\cdot\cos{BCD}=> \inline \cos{BCD}=\frac{1012}{1300}=0,77; \inline \sin{BCD}=0,64=> m(∢BCD)=39°

In triunghiul ADC aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {AC}^2={DC}^2+{AD}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos{ADC}=> \inline 289=288+676-2\cdot12\sqrt2\cdot26\cdot\cos{ADC}=> \inline \cos{ADC}=\frac{675}{879,84}=0,77; \inline \sin{ADC}=0,64 => m(∢ADC)=39°

In triunghiul DAB aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DB}^2={AB}^2+{AD}^2-2\cdot AD\cdot AB\cdot\cos{DAB}= > \inline 289=288+169-2\cdot12\sqrt2\cdot13\cdot\cos{DAB}=> \inline \cos{DAB}=\frac{168}{441,23}=0,38 \inline =>\sin{DAB}=0,93=> m(∢DAB)=68°

m(∢ADB)=44°; m(∢BDC)=24°(se determina prin suma unghiurilor unui triunghi) etc.

25. In problemele 23 si 24, punctul D este in interiorul, in exteriorul sau chiar pe cercul care trece prin A, B, C?

Rezolvare:

m(∢D)+m(∢B)=179°<180°, deci D se afla in interiorul cercului.

Rezolvarea triunghiurilor oarecare

In acest paragraf vom rezolva cele trei probleme legate de constructia triunghiurilor.

Problema rezolvata 1. Intr-un triunghi se cunosc lungimile a doua laturi si masura unghiului cuprins. Sa se determine lungimea celei de-a treia laturi si masurile celorlalte doua unghiuri.

Sa consideram intai un caz concret, in care sa presupunem ca “unghiul cuprins” este dat nu prin masura sa ci prin cosinusul sau. (fig.1.60).

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 27

Ipoteza: AB = 5, AC = 7, m(∢A)<90°, cosA = 0,4

Concluzie: BC=?,m(∢C)=?,m(∢B)=?

Rezolvare. Pentru a putea aplica relatiile din triunghiul dreptunghic ce le cunoastem, sa ducem inaltimea BD. Vom avea din ∆ABD, \inline AD=AB\bulletcosA=5\cdot0,4=2, \inline BD=\sqrt{{BD}^2-{AD}^2}=\sqrt{21}, apoi DC=7-2=5 si din ∆BDC, \inline BC=\sqrt{{BD}^2+{DC}^2}=\sqrt{46,} \inline sinC=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{46}}=\sqrt{0,4665} = 0,67…, m(∢C)=42°,m(∢ABC)=180°-(m(∢A)+m(∢C))=180°-(66°+42°)=71° (unghiurile din paranteza sunt amandoua putin mai marei decat valorile scrise…) – Puteam determina pe BD si ca AB sin A, iar pe C si din \inline cosC=\frac{CD}{BC}=\frac{5}{\sqrt{46}}.

Vom rezolva insa prima parte a problemei si in cazul general, cu date literale; se va vedea cum rezultatul ce-l vom obtine va fi esential in special pentru problema 3.

Va trebui sa deosebim doua cazuri.

Cazul 1. Unghiul cuprins este ascutit. (fig. 1.61)

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 28

Ipoteza: AB=c, AC=b, b≤c, m(∢A)=x

Concluzie: BC = ?

Rezolvare.Rolurile ce le joaca ∢B si ∢C in enunt sunt simetrice, de aceea am precizat ca b≤c, pentru a sti ca m(∢B)≤m(∢C), deci ca ∢B este ascutit si ca figura arata asa cum a fost desenata. Vom proceda la fel ca in cazul concret de mai sus: vom considera piciorul D al perpendicularei din C pe AB care, datorita ipotezelor, se va afla intre A si B.

In ∆ACD avem CD=b∙sin x, AD=b∙cos x, apoi BD=c-b∙cos x. Teorema lui Pitagora in ∆BCD da \inline BC=\sqrt{{BD}^2+{DC}^2}=\sqrt{b^2\sin^2x+{(c-b\cdot\cos{x)}}^2}=\inline \sqrt{b^2{(\sin}^2x{+\cos}^2x)+c^2-2bc\cdot\cos{x}}=\inline \sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot\cos{x}}.

Cazul 2. Unghiul cuprins este obtuz.

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 29

Ipoteza: AB=c,AC=b,m(∢A)=x

Concluzia: BC=?

Rezolvare. In acest caz, ∢B este sigur ascutit. Avem m(∢CAD)=180°-x si in continuare procedam in acelasi mod ca in cazul 1:

         AD=b∙cos(180°-x),CD=b∙sin(180°-x),BD=c+b∙cos(180°-x)=\inline BC=\sqrt{{CD}^2+{BD}^2}=\inline \sqrt{b^2\sin^2(180^{\circ}-x)+{(c+b\bulletcos(180^{\circ}-x))}^2}=\inline \sqrt{b^2+c^2+2bccos(180^{\circ}-x)} si apoi \inline sinB=\frac{CD}{CB}.

Observatie. Daca examinam cele doua formule obtinute in cele doua cazuri pentru lungimea lui BC observam ca, daca definim, pentru 90° < x <180°, cos x drept – cos (180°- x), atunci formula de la cazul 1 este valabila si in cazul 2. Daca definim si cos 90° = 0, atunci formula de la cazul 1 va fi valabila si pentru m(∢A)=90°, devenind teorema lui Pitagora.

Din rezolvarea problemei 1 deducem deci:

Teorema lui Pitagora generalizata.  In orice triunghi, patratul unei laturi este egal cu suma patratelor celorlalte doua laturi minus dublul produs al celor doua laturi inmultit cu cosinusul unghiului format de ele, convenind sa consideram cosinusul unui unghi obtuz ca fiind egal cu cosinusul suplementului, cu semnul minus.

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 30

{\color{Blue} {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot cosA}

cos x = – cos(180°-x), cos 90°=0

Aceasta teorema se numeste teorema lui Pitagora “generalizata” deoarece teorema lui Pitagora este un caz particular al ei, pentru m(∢A)=90°

Problema rezolvata 2. Cunoscand masurile a doua unghiuri ale unui triunghi si lungimea laturii curpinse intre ele, sa se determine lungimile celorlalte doua laturi (si masura celui de-al treilea unghi).

Vom considera un caz concret. (fig. 1.64)

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 31

Ipoteza:   BC=10,m(∢B)=25°,m(∢C)=40°

Concluzie: AB=?,AC=?,m(∢A)=?

Rezolvare:

Evident m(∢A)=180°-(25°+40°)=115°.Vom considera, ca in problema precedenta, piciorul D al perpendicularei din C pe AB. Avem CD=BC∙sinB=10∙0,423=4,23, iar m(∢CAD)= 65°, \inline AC=\frac{CD}{sin C A D}=\frac{4,23}{0,906}=4,66\ldotsCalculul lui AB se face asemanator, ducand perpendiculare din B pe AC: \inline AB=\frac{BCsin C}{sin(180^{\circ}-A)}=\frac{10\cdot0,643}{0,906}=7,09\ldots .

Observatie.  Daca vom conveni sa consideram ca sin 90° = 1 si, ca pentru 90° < x < 180°, sin x = sin (180° – x), atunci in figura 1.64, de exemplu, am putea scrie direct CD=ACsinA si deci \inline AC=\frac{BCsin B}{sin A} ar fi o formula valabila in toate cazurile (chiar cand ∢ ar fi obtuz).

Problema rezolvata 3. Cunoscand lungimile celor trei laturi ale unui triunghi, sa se afle masurile unghiurilor sale.

Vom considera, ca mai inainte, un caz concret. (fig. 1.65).

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 32

Ipoteza: AB=5,BC=7,AC=8

Concluzia:m(∢A)=?,m(∢B)=?,m(∢C)=?

Rezolvare:

Vom aplica teorema generalizata a lui Pitagora.

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB ∙ AC ∙ cos A, deci 49 = 25 + 64 – 80 ∙ cos A =>

m(∢A)=60°

Asemanator obtinem

64 = 49 + 25 – 70 ∙ cos B =>\inline cosB=\frac{1}{7}=0,142\ldots=m(\sphericalangle B)=81^{\circ} si 25 = 49 + 64 – 112 ∙ cos C, \inline cosC=\frac{11}{14}=0,785\ldots=m(\sphericalangle C)=38^{\circ}

Bineinteles, ultimul unghi putea fi dedus si din celelalte doua – suma unghiurilor unui triunghi fiind de 180°.

Observatie. Uneori, cand atat datele problemei, cat si ceea ce se cere de calculay, se refera numai la lungimi de segmente, este avantajos sa nu mai antrenam si unghiuri in calculele noastre si sa enuntam teorema lui Pitagora generalizata astfel: patratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma patratelor celorlalte doua laturi, plus sau minus, dupa cum unghiul opus este obtuz sau ascutit, produsul uneia din celelalte doua si proiectia celeilalte pe ea.

Matematica Capacitate Rezolvarea triunghiurilor oarecare 33

De exemplu, daca in situatia din problema rezolvata 3 am dori sa calculam inaltimea din B a triunghiului, am calcula intai distanta AD de la A la piciorul inaltimii prin formula de mai sus si am gasi \inline AD=\frac{5}{2}, iar apoi din teorema lui Pitagora am deduce \inline BD=\sqrt{{AB}^2-{AD}^2}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt3}{2}.

Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta

1.Examinati tabelul de valori al sinusului si raspundeti la intrebarea: daca x < y atunci avem  sin x < sin y, sin x > sin y sau sin x = sin y?

Demonstrati apoi raspunsul (evident ca tabelul, ce nu contine decat valorile lui sin x pentru x intreg, nu ne poate ajuta in aceasta demonstratie); amintiti-va teoremele de la “inegalitati”.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 34

Daca x < y atunci avem sinx < siny.

x<y;\sin{x=\frac{BB\prime}{R}};\sin{y=\frac{CC^\prime}{R}}\ ;

BB^\prime<CC^\prime=>sinx<\sin{y}

2.Aceeasi intrebare pentru cosinus.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 35

Daca x < y atunci avem cos x > cos y.

x<y;\cos{x=\frac{OC\prime}{R}};\cos{y=\frac{OB\prime}{R}}\ ;

OB^\prime>OC^\prime=>cosx>\cos{y}

3.Examinati diferentele dintre valorile succesive ale sinusului din tabelul de mai sus; mai precis examinati valorile expresiei sin(x+1°)-sinx pentru x intreg. Unde creste mai repede, in zona valorilor mici sau a celor mai mari a lui x?

Rezolvare:

Sinusul creste mai repede in zona valorilor mici.

4.Care sunt valorile lui x pentru care sin x = cos x?

Rezolvare:

x=45°

5.Ce puteti spune despre masura x a unui unghi ascutit pentru care sin x = 0,8? Dar daca stim ca cos y = 0,55?

Rezolvare:

Pentru sin x = 0,8, din tabel => 0,799 <0,8 < 0,809 =>sin 53° < sin x < sin 54° deci 53 < x < 54.

Daca cos y = 0,55 =>  => 0,545 < 0,55 < 0,559 =>

=>   56 < y < 57.

6.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are lungimea a, iar unul din unghiurile ascutite masura x. Sa se exprime lungimile catetelor, ale inaltimii, ale proiectiilor catetelor pe ipotenuza. (La aceasta problema ca si la cele care urmeaza se vor considera si exemple numerice.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 36

sinx=\frac{b}{a}=>b=a\cdot\sin{x};\cos{x}=\frac{c}{a}=>c=a\cdot\cos{x}

a\cdot u=a^2\cdot{sin}^2x=>u=\frac{a^2\cdot{sin}^2x}{a}=a\cdot{sin}^2x

a\cdot v=a^2\cdot {cos}^2x=>v=\frac{a^2\cdot {cos}^2x}{a}=a\cdot {cos}^2x

h^2=u\cdot v=a\cdot {sin}^2x\cdot a\cdot {cos}^2x=>h=a\cdot \sin{x}\cdot \cos{x}

Exemplu numeric:

Fie x = 30°; a =10; => \inline c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};h=\frac{5\sqrt3}{2}

7.Inaltimea unui triunghi dreptunghic corespunzatoare unghiului drept are lungimea h, iar unul dintre unghiurile ascutite ale triunghiului are masura x. Exprimati lungimile ipotenuzei, ale catetelor etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 37

\sin{x}=\frac{h}{c}=>c=\frac{h}{\sin{x}};

sin (90^{\circ}-x)=cos\ {x}=\frac{h}{b}=>b=\frac{h}{\cos{x}};

\cos{x}=\frac{v}{c}=>v=c\cdot cosx=h\cdot\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

cos(90^{\circ}-x)=\sin{x}=\frac{u}{b}=>u=b\cdot\sin{x}=h\cdot\frac{\sin{x}}{\cos{x}};

a=u+v=h\cdot\frac{{cos}^2x+{sin}^2x}{\cos{x}\sin{x}}=h\cdot\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}

Exemplu numeric:

Fie \inline h=\frac{5\sqrt3}{2};x=30^{\circ};=>c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};a=10

8.Baza mica a unui trapez dreptunghic are lungimea b, latura “oblica” are lungimea c, iar unghiul ascutit masura x. Sa se exprime baza mare, latura perpendiculara si diagonalele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 38

\sin{x}=\frac{d}{c}=>d=c\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{a-b}{c}=>a-b=c\cdot\cos{x}=>a=b+c\cdot\cos{x};

e=\sqrt{c^2\cdot{sin}^2x+b^2};

f=\sqrt{{(b+c\cdot\cos{x})}^2+c^2\cdot{sin}^2x}

9.Intr-un cerc de raza R se considera un unghi la centru de masura x. Care este lungimea coardei “corespunzatoare”?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 39

Ducem perpendiculara din O pe AB. Triunghiul AOB este isoscel, laturile sale fiind egale cu raza cercului => AC este si bisectoare.

sin\ {\frac{x}{2}}=\frac{BC}{R}=\frac{AB}{2R}=>AB=2R\cdot\sin{\frac{x}{2}}

10.Un triunghi isoscel are unghiurile de la baza de masura x, iar laturile congruente de lungime a. Sa se calculeze baza, inaltimea corespunzatoare bazei si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 40

\sin{x}=\frac{h}{a}=>h=a\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}=>b=2a\cdot\cos{x}\ ;

\sin{x}=\frac{g}{b}=\frac{g}{2a\cdot\cos{x}}=>g=2a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}

Exemplu numericx = 30°; a = 10 => \inline \sin{30^{\circ}}=\frac{1}{2};\cos{30^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2} ,deci

h=5;b=10\sqrt3;\ g=5\sqrt3

11.Se cunosc lungimile bazei si a laturilor congruente dintr-un triunghi isoscel. Sa se scrie o relatie din care sa se poata determina unghiul de la varf al triunghiului (relatia va contine, evident, “sinus” sau “cosinus”).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 41

Ducem inaltimea din A, care va fi si mediana si bisectoare conform proprietatii triunghiului isoscel.

=>\sin{\frac{A}{2}}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}

12.Cunoscand lungimea si latimea unui dreptunghi sa se determine masura unghiului ascutit format de diagonalele sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 42

Ducem prin M o paralela la BC. Stiind ca diagonalele unui dreptunghi se injumatatesc si sunt congruente  => MN este inaltime in triunghiul isoscel BMC deci este si bisectoare. \inline m\left(\sphericalangle CMN\right)=\frac{x}{2}\inline \sphericalangle CMN\equiv\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle BMN (conform constructiei de drepte paralele).

In trunghiul dreptunghic ABC, \inline tg{\frac{x}{2}}=\frac{l}{L} , unde l este latimea dreptunghiului, iar L mare, lungimea sa.

13.Un punct este la distanta de 15 cm de centrul unui cerc de raza 5 cm. Sub ce unghi “se vede cercul” din acel punct (cu alte cuvinte care este unghiul format de tangentele duse din acel punct la cerc)?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 43

\inline \bigtriangleup TMO\equiv\bigtriangleup T\prime MO (cazul C.I. – \inline T'O\bot MT^\prime;OT\bot MT raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta) => ∢TMO≡∢OMT’.

In ⊿TMO, \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{OT}{OM}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}

14.Doua cercuri de raze R si r au distanta d intre centre. Sub ce unghi se vad cercurile din punctul de intersectie al tangentelor comune exterioare? Dar din cel al tangentelor comune interioare?

Rezolvare:

In cazul tangentelor exterioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 44

Din problema anterioara stim ca \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R}{OM}=\frac{r}{O\prime M}}

O’M∥OA=>⊿BMO’∼⊿AMO \inline =>\frac{O^\prime M}{OM}=\frac{r}{R}=>

\inline \frac{O^\prime M}{O^\prime M+d}=\frac{r}{R}=>\frac{O^\prime M}{d}=\frac{r}{R-r}\inline =>O^\prime M=\frac{dr}{R-r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{r(R-r)}{d\cdot r}}=\frac{R-r}{d}

In cazul tangentelor interioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 45

⊿AMO≡⊿CMO (fiind triunghiuri dreptunghice, raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, cazul C.I.) => m(∢AMO)=m(∢OMC)=\inline \frac{x}{2}

\inline \sin{\frac{x}{2}}=\frac{R}{OM};\ \bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup DO^\prime M \inline =>\frac{OM}{MO^\prime}=\frac{R}{r}=>\frac{OM}{d-OM}=\frac{R}{r}=>

\inline r\cdot OM=R\cdot d-R\cdot OM=>OM=\frac{Rd}{R+r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R\cdot\left(R+r\right)}{R\cdot d}}=\frac{R+r}{d}

15.O dreapta este la distanta d de centrul unui cerc de raza R. Care este unghiul format de dreapta cu tangenta la cerc intr-un punct de intersectie al dreptei cu cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 46

m(∢BTA)+m(∢ATO)=m(∢ATO)+m(∢AOT)=90°

=>∢AOT≡∢ATB=> \inline \cos{x}=\frac{OA}{OT}=\frac{d}{R}

16.In ∆ABC cu m(∢A)=90° ducem AD⊥BC,DE⊥AB,EF⊥ Exprimati BF si AF cunoscand BC = a si m(∢B)=x.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 47

\inline AB=a\cdot\cos{x};AC=a\cdot\sin{x}; ∢DAC≡∢ABC (sunt complementare cu unghiul C) => \inline AD=a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x};CD=a\cdot{sin}^2x;

m(∡FEB)=m(∢DAE)=m(∢EDF)=90°-x=>

\inline DB=\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}; \inline EB=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=>

\inline BF=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=a\cdot{cos}^4x

\inline DF=BC-BF-CD=a-a\cdot{cos}^4x-a\cdot{sin}^2x=>

\inline DF=a\cdot{cos}^2x-a\cdot{cos}^4x;

\inline AF=\sqrt{{AD}^2+{DF}^2}=\sqrt{a^2\cdot{sin}^2x\cdot{cos}^2x+a^2\cdot\left({cos}^2x-{cos}^4x\right)^2}=

\inline =a\cdot\cos{x\cdot\sin{x}}\cdot\sqrt{1+{sin}^2x\cdot{cos}^2x}

17.Aratati ca \inline ctgx=\frac{1}{tgx}.

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}=\frac{1}{tgx}

18.Aratati ca ctg x = tg (90°-x).

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{\sin{\left(90^{\circ}-x\right)}}{\cos{\left(90^{\circ}-x\right)}}=tg\ (90^{\circ}-x)

19.Calculati tg 29°, ctg 44° etc.

Rezolvare:

tg 29°=0,554;ctg 44°=tg 46°=1,036

20.Ce puteti spune despre unghiurile x, y daca tgx=2,1 si ctgx=0,5?

Rezolvare:

tg 64°=2,050; tg 65°=2,145=>

2,050 < 2,1 < 2,145=>64°<x<65°

ctg x=tg (90°-x)

tg 26°=0,488;tg 27°= 0,510=>

0,488<0,5<0,510=>26°<90°-x<27°=>63°<x<64°

21.Aratati ca daca x < y atunci tg x < tg y iar ctg x > ctg y.

Rezolvare:

\inline tg\ x=\frac{sinx}{cosx} stim ca pentru x<y,sin x<sin y;cos x>cos y \inline =>\frac{1}{\cos{x}}<\frac{1}{\cos{y}}=>

tgx < tgy;

De asemenea, \inline ctgx=\frac{1}{tgx}  deci, bazandu-ne pe demonstratia de mai sus, pentru x<y=>ctg x>ctg y.

22.Determinati tangenta si cotangenta unghiurilor de 30°, 45° si 60 °.

Rezolvare:

\inline tg\ 30^{\circ}=\frac{\sin{30^{\circ}}}{\cos{30^{\circ}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3};ctg\ 30^{\circ}=\frac{\cos{30^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}}=\sqrt3

\inline tg\ 45^{\circ}=\frac{\sin{45^{\circ}}}{\cos{45^{\circ}}}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=1;ctg\ 45^{\circ}=\frac{1}{tg\ 45^{\circ}}=1

\inline tg\ 60^{\circ}=\frac{\sin{60^{\circ}}}{\cos{60^{\circ}}}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=\sqrt3;\ ctg\ 60^{\circ}=\frac{1}{tg\ 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt3}

Tangenta unui unghi

Daca intr-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90° cunoastem AC = b si C = x, atunci ipotenuza \inline BC=\frac{B}{cos x}, iar cealalta cateta \inline AB=BCsinx=\frac{bsin x}{cos x}. Cu aceasta am rezolvat problema: cunoscand lungimea unei catete si unghiul alaturat dintr-un triunghi dreptunghic, sa se determine lungimea celeilalte catete.

In rezolvarea numerica a acestei probleme, suntem in situatia de a face o impartire a doua numere (sin x si cos x) pe care le luam din tabelul anterior. Sa introducem:

Definitie. Se numeste tangenta a unui unghi x pentru care 0°<x<90° , catul dintre sinusul si cosinusul sau.

tgx=\frac{sin x}{cos x}

Matematica Capacitate Tangenta unui unghi 48

Se introduce si:

Definitie. Se numeste cotangenta a unghiului x pentru 0°<x<90° catul dintre cosinusul acelui unghi si sinusul sau, \inline ctgx=\frac{cos x}{sin x}.

Sinusul si cosinusul unui unghi

Ne vom pune acum problema de a determina, cunoscand lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic si masura unuia din unghiurile ascutite, lungimea laturii opuse acelui unghi.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 49

Raspunsul la aceasta problema nu se poate da cu ajutorul unei formule care sa contina numai operatii cu numere cunoscute pana acum. Situatia nu este atat de “grava” incat sa fim obligati sa rezolvam de fiecare data o astfel de problema printr-o masuratoare. Anume, sa observam ca daca in doua triunghiuri dreptunghice cu m(∢A)=m(∢A’)=90° unghiurile din B si B’ sunt congruente atunci triunghiurile sunt asemenea (cazul 2) si deci \inline \frac{AC}{A^\prime C^\prime}=\frac{BC}{B^\prime C^\prime} , deci cunoscand ipotenuzele lor si cateta AC din primul determinam cu usurinta cateta A’C’ din celalalt. (fig.1.51).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 50

Cu alte cuvinte este suficient sa cunoastem raportul \inline \frac{AC}{BC} intr-un triunghi dreptunghic care are masura unghiului B egala cu x, pentru a putea calcula cateta opusa unui unghi de masura x in orice triunghi dreptunghic caruia i se cunoaste ipotenuza.

Ajungem la concluzia ca este preferabil sa caracterizam marimea unui unghi ascutit nu prin numarul sau de grade, ci prin raportul dintre distanta de la un punct de pe una din laturile sale la cealalta latura si distanta de la acel punct la varful unghiului. (fig. 1.52).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 51

Rationamentul de mai sus (cu triunghiuri asemenea) ne arata ca acest raport nu se schimba daca inlocuim punctul cu alt punct de pe acea latura sau de pe cealalta sau daca inlocuim unghiul cu unul congruent.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 52

\inline \frac{AM}{AO}=\frac{BN}{BO}=\frac{CP}{CO}=\frac{DQ}{DO^\prime}

Definitie. Daca 0 < x < 90°, se numeste sin(x) si se citeste “sinus de x”, raportul dintre cateta opusa a unghiului x si ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic care are unul din unghiurile ascutite de masura x.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 53

Am vazut mai sus ca “definitia este corecta”.

Aceste unghiuri nu se masoara, ele se pot calcula printr-o formula in care apare o “suma imfinita”, formula ce “incepe” astfel:

sinx=\frac{\pi x}{180}-\frac{1}{6}{(\frac{\pi x}{180})}^3+\frac{1}{120}{(\frac{\pi x}{180})}^5-\ldots

Dam mai jos un tabel (calculat, de exemplu, pe baza formulei de mai sus), in care figureaza valorile lui sin x, cu trei zecimale exacte, pentru toti x exprimati printr-un numar intreg de grade, cuprins intre si 90°.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 54

Cu ajutorul acestui tabel putem raspunde la doua tipuri de intrebari:

  1. Sa se afle sin 23°, Gasim in tabel sin 23° = 0,391; mai precis deoarece tabelul contine valori aproximative: 0,3905 < sin 23° < 0,3915.
  2. Sinusul unui unghi este 0,32. Care este masura x a acelui unghi? Din tabel gasim ca sin 18° = 0, 309 < 0,32 < 0,326 = sin 19°, deci x este cuprins intre 18° si 19°.

Exista si tabele mai precise, cu mai multe zecimale, si din “minut in minut” etc.

Observatia 1. Putem determina nasura x a unui unghi daca stim de exemplu ca \inline sin\frac{x}{2}=0,16 . Din tabel obtinem 9°<\inline \frac{x}{2}<10° deci 18°<x<20°.

Observatia 2.Din cele cunoscute pana acum putem deduce valoarea exacta a sinusurilor a trei unghiuri. Stim (teorema lui Pitagora) ca intr-un triunghi dreptunghic isoscel de cateta a ipotenuza este \inline a\sqrt2.

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 55

Deci sin 45°=\inline \frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.

Stim ca intr-un triunghi dreptunghic de ipotenuza a ce are un unghi ascutit de 30° cateta opusa acelui unghi este \inline \frac{a}{2} (deoarece “completand” triunghiul se obtine un triunghi echilateral, fig. 1.56).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 56

Deci sin 30°=\inline \frac{1}{2}. In acelasi triunghi lungimea celeilalte catete este \inline \frac{a\sqrt3}{2} (teorema lui Pitagora), deci  sin 60°=\inline \frac{\sqrt3}{2}.

Problema rezolvata 1. Cunoscand ipotenuza si un unghi ascutit ale unui triunghi dreptunghic, sa se afle catetele. (fig.1.57).

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 57

Ipoteza: BC=a,m(∢B)=x,m(∢A)=90°

Concluzie: AC=?,AB=?

Rezolvare:

Avem prin definitie \inline \frac{AC}{a}=sinx, deci AC = a sin x. Teorema lui Pitagora da

\inline AB=\sqrt{a^2-{AC}^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2x}=a\sqrt{1-\sin^2x}.

Mai putem scrie, deoarece m(∢C)=90°-x si AB=a,sinC=a sin⁡(90°-x).

Observatie. Sa remarcam ca am scris \inline \sin^2x in loc de sin x2aceasta este o conventie de scriere.

Problema rezolvata 2. Cunoscand o cateta si ipotenuza unui triunghi dreptunghic, sa se afle unghiurile triunghiului. (fig. 1.58)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 58

Ipoteza: m(∢A)=90°,BC=a,AC=b

Concluzia: m(∢B)=?m(∢C)=?

Rezolvare:

Conform definitiei avem \inline sinB=\frac{b}{a} si aceasta relatie constituie un raspuns la intrebarea “care este masura ∢B?”.

Masura ∢C se determina fie din m(∢C)=90°-m(∢B)fie din \inline sinC=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} (teorema lui Pitagora, \inline sinC=\frac{AB}{a}).

Tinand seama de rezultatul din problema rezolvata 1, se da:

Definitie: Daca 0° < x < 90° se numeste cos x si se citeste “cosinus de x” numarul sin (90°-x).

Sinusul si cosinusul unui unghi se numesc si “functii trigonometrice ale acelui unghi”.

CE STIM DESPRE SINUS SI COSINUS?

  1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90° avem AC = BC ∙ sin B, AB = BC ∙ cos B (fig. 1.59)

Matematica Capacitate Sinusul si cosinusul unui unghi 59

b. 0<sinx<1;0<cosx<1.

c. cosx=sin(90°-x). Aceasta ne permite sa folosim tabelul anterior si la calculul cosinusului unui unghi dat si la determinarea unui unghi cand i se cunoaste cosinusul.

Din rezolvarea problemei 1 am vazut ca \inline cosx=\sqrt{1-\sin^2x} deci \inline \sin^2x+\cos^2x=1 pentru orice x cuprins intre si 90°. Aceasta este o expresie “trigonometrica” a teoremei lui Pitagora.

\inline sin30°=\frac{1}{2},sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2},sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} , deci

\inline cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2},cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2},cos60°=\frac{1}{2}

Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic

1.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 13 cm, iar una din catete este de 5 cm. Aflati cealalta cateta, inaltimea si proiectiile catetelor pe ipotenuza.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 60

AC2=BC2—AB2 => AC2=169-25=144=>AC=12

AB2 =BC∙BD => \inline BD=\frac{25}{13}; AC2=DC∙BC=> \inline DC=\frac{144}{13}

AD2=BD∙DC = \inline \frac{25\cdot144}{13\cdot13} => AD = \inline 5\cdot\frac{12}{13}=\frac{60}{13}

2.O cateta a unui triunghi dreptunghic este de 10 cm, iar inaltimea de 8 cm, Aflati celelalte elemente ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 61

DC2=AC2-AD2=100-64=36 => DC=6

AC2=CD∙BC => BC= \inline \frac{100}{6}=\frac{50}{3};BD=\frac{50}{3}-6=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}

AB2=BC2– AC\inline \frac{2500}{9}-\frac{900}{9}=\frac{1600}{9} =>AB= \inline \frac{40}{3}

3.O cateta a unui triunghi dreptunghic este de 15 cm, iar proiectia sa pe ipotenuza este de 9 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 62

AB2=BD∙BC => BC= \inline \frac{225}{9}=25

AC2=BC2-AB2 =625-225=400 => AC=20

DC=BC-BD=25-9=16

AD2=BD∙DC=16∙9=AD=12

4. Inaltimea unui triunghi dreptunghic este de 24 cm, iar proiectia unei catete pe ipotenuza este de 10 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 63

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=DC=\frac{576}{10}=57,6

BC=BD+DC=67,6

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=10\cdot67,6=676=>AB=26

\inline {AC}^2=DC\cdot BC=67,6\cdot57,6=>AC=62,4

5. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 50 cm, iar proiectia unei catete pe ea este de 5 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 64

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=5\cdot50=>AB=5\sqrt{10}

DC=BC-BD=45;

\inline {AC}^2=CD\cdot BC=45\cdot50=>AC=15\sqrt{10}

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=5\cdot45=>AD=15

6. Proiectiile catetelor unui triunghi dreptunghic pe ipotenuza sunt de 7 cm si 63 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 65

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=7\cdot63=>AD=21

BC=BD+DC=70

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=7\cdot70=>AB=7\sqrt{10}

\inline {AC}^2=CD\cdot BC=63\cdot70=>AC=21\sqrt{10}

7. Enuntati si demonstrati o reciproca a teoremei lui Pitagora.

Rezolvare:

Daca intr-un triunghi o latura la patrat este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi atunci triunghiul este dreptunghic.

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 66

\inline {BD}^2+{AD}^2={AB}^2

\inline {DC}^2+{AD}^2={AC}^2

\inline =>{AB}^2+{AC}^2={BD}^2+{AD}^2+{DC}^2+{AD}^2={BC}^2

\inline 2{AD}^2+{BD}^2+{DC}^2+2BD\cdot DC-2BD\cdot DC=

\inline =2{AD}^2+\left(BD+DC\right)^2-2BD\cdot DC=

\inline =2{AD}^2+{BC}^2-2BD\cdot DC={BC}^2=>

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=>\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD} ; ∢ADB≡∢ADC=>

⊿DAB ∼⊿DCA=>∢ABD≡∢DAC;∢DAB≡∢ACD=>

m(∢BAC)=m(∢ DAB)+m(∢ABD)=90°

8. Deduceti teorema lui Pitagora din teorema catetei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 67

Ipoteza: \inline {AB}^2=AD\cdot BC;{AC}^2=DC\cdot BC

Concluzie: \inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2

\inline {AB}^2+{AC}^2=\ AD\cdot BC+\ DC\cdot BC=

\inline =BC\cdot\left(AD+DC\right)={BC}^2

9. Redactati o demonstratie a teoremei lui Pitagora fara a folosi cercuri si nici teorema catetei (insa reconstituind figura 1.40).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 68

Construim in prelungirea lui BC, BEAB. Pe latura BC luam punctul D astfel incat BD≡AB.

⊿BDAeste isoscel avand doua laturi congruente =>∢BDA≡∢DAB;

⊿EBAeste isoscel avand doua laturi congruente =>∢BEA≡∢EAB;

m(∢BDA)+m(∢DAB)+m(∢BEA)+m(∢EAB)=180°

2∙m(∢EAD)=180°=>m(∢EAD)=90° =>∢DAC≡∢BDA≡∢DAB

⊿AEC∼⊿DAC(avand doua unghiuri congruente)

\inline =>\frac{EC}{AC}=\frac{AC}{CD}=>\frac{EB+BC}{AC}=\frac{AC}{BC-BD}=>

\inline \frac{AB+BC}{AC}=\frac{AC}{BC-AB}

=>AC∙AC=(AB+BC)(BC-AB)=>

\inline {AC}^2={BC}^2-{AB}^2=>

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2

10. Care este lungimea diagonalei unui patrat de latura a?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 69

In triunghiul ABC aplicam teorema lui Pitagora:

AC2 = AB2 + BC2 => AC2 = 2a2 => AC =a\inline \sqrt2

11. Care este lungimea inaltimii unui triunghi echilateral de latura 4 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 70

Daca AD este inaltime, iar triunghiu ABC este echilateral, Ad este si mediana. => BD = DC = 2 cm.

In triunghiul DAB aplicam teorema lui Pitagora:

AB2 = BD2 + AD2 => AD2 = 16 – 4 = 12 => AD = 2\inline \sqrt3

12. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel este de 4 cm. Sa se calculeze catetele triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 71

Aplicam teorema lui Pitagora:

BC2 = AB2 + AC2 => 2 ∙ AC2 = 16 => AC = AB = 2\inline \sqrt2

13. Un triunghi dreptunghic are o cateta de 5 cm, iar unghiul opus ei este de 30. Calculati lungimile ipotenuzei, a celelilalte catete, a inaltimii etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 72

Cateta care se opune unui unghi de 30° este jumatate din ipotenuza

=> BC = 10 cm.

Aplicam teorema lui Pitagora:

BC2 = AB2 + AC2 => AC2 = 100 – 25 = 75 => AC = 5\inline \sqrt3

14. Intr-un trapez dreptunghic, bazele au 10 cm si 7 cm, iar latura neparalela perpendiculara pe ele este de 4 cm. Calculati lungimile celeilalte laturi si ale diagonalelor.

Rezolvare:

Ducem din D perpendiculara DE pe BC. In triunghiul DEC aplicam teorema lui Pitagora, stiind ca EC = BC – AD = 3 cm si DE = AB = 4 cm (ADEB este dreptunghi avand laturile paralele si unghiuri de 90°)

DC2 = DE2 + EC2 => DC2 = 9 + 16 = 25 => DC = 5

Aplicam teorema lui Pitagora in \inline \bigtriangleup ABC:\ {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=\inline 16+100=116=>AC=2\sqrt{29}

Aplicam teorema lui Pitagora in \inline \bigtriangleup BDE:\ {BD}^2={DE}^2+{EB}^2=\inline 16+49=65=>BD=\sqrt{65}

15. Un trapez dreptunghic are bazele 11 cm si 7 cm, iar una din diagonale de 15 cm. Sa se calculeze lungimile laturilor neparalele si a celeilalte diagonale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 73

Cazul 1. AC = 15.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BAC: \inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=>

\inline {AB}^2=225-121=104=>AB=2\ \sqrt{26}

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul DEC: \inline {DC}^2={EC}^2+{DE}^2=>

\inline {DC}^2=16+104=120=>DC=2\ \sqrt{30}

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDE: \inline {BD}^2={BE}^2+{DE}^2=>

\inline {BD}^2=49+104=153=>DC=3\ \sqrt{17}

Cazul 2. BD=15.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDE: \inline {BD}^2={BE}^2+{DE}^2=>

\inline {DE}^2=225-49=176=>DE=4\ \sqrt{11}=AB

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul DEC: \inline {DC}^2={EC}^2+{DE}^2=>

\inline {DC}^2=16+176=192=>DC=8\ \sqrt3

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BAC: \inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=>

\inline {AC}^2=176+121=297=>AB=3\ \sqrt{33}

16. Un triunghi isoscel are laturile congruente de 10 cm iar baza de 8 cm. Calculati inaltimea corespunzatoare bazei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 74

Stim ca in triunghiul isoscel inaltimea corespunzatoare bazei este si mediana => BD = DC =4.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD: \inline {AB}^2={BD}^2+{AD}^2=>

\inline AD=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21}

17. In problema precedenta calculati si celelalte inaltimi ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 75

⊿ADC∼⊿BEC(dreptunghice si au un unghi comun) =>

\inline \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}=>\frac{BE}{2\sqrt{21}}=\frac{8}{10}=>BE=\frac{8\sqrt{21}}{5}

Stim ca intr-un triunghi isoscel inaltimile duse din varfurile alaturate bazei sunt congruente => \inline CF=\frac{8\sqrt{21}}{5}

18. O coarda a unui cerc de raza 15 cm are lungimea de 8 cm. Calculati distanta de la centrul cercului la acea coarda.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 76

Triunghiul OAB este isoscel, OA si OB fiind raze ale cercului. Fie inaltimea OD, care este si mediana.=> AD = DB = 4.

In triunghiul AOD aplicam teorema lui Pitagora: \inline {AO}^2={OD}^2+{AD}^2=>{OD}^2=\inline 225-16=209=>OD=\sqrt{209}

19. Care este cea mai mica putere ce o poate avea un punct fata de un cerc de raza R? Care este punctul de putere minima?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 77

Ducand diametrul AB, puterea punctului M fat de cerc este

\inline MA\cdot MB=\left(MO-r\right)\left(MO+r\right)={MO}^2-r^2

Aceasta este minima cand MO = 0, deci cand M este in centrul cercului, iar valoarea va fi \inline -r^2.

20. Care este lungimea tangentei dusa dintr-un punct la un cerc de raza 3 cm, daca distanta de la acel punct la centrul cercului este de 8 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 78

Stim ca raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, deci triunghiul OTM este dreptunghic. Aplicam teorema lui Pitagora:

\inline {OM}^2={OT}^2+{TM}^2=>\inline {TM}^2=64-9=55=>TM=\sqrt{55}

21. Calculati lungimea tangentelor comune a doua cercuri tangente exterioare de raze R si r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 79

OT⊥MT;O’T’⊥MT=>OT∥O’T’=>⊿TOM∼⊿T’O’M=>

\inline \frac{MO^\prime}{MO}=\frac{r}{R}=\frac{MT^\prime}{MT}

Notam MT’ = a.

\inline \frac{a}{a+R+r}=\frac{r}{R}=>aR=r\left(a+R+r\right)=>\inline a\left(R-r\right)=r\left(R+r\right)

\inline =>MO^\prime=\frac{r\left(R+r\right)}{R-r}

In triunghiul T’O’M aplicam teorema lui Pitagora:

\inline {MT^\prime}^2=a^2-r^2=\frac{r^2\left(R+r\right)^2}{\left(R-r\right)^2}-r^2=\inline \frac{r^2\left(\left(R+r\right)^2-\left(R-r\right)^2\right)}{\left(R-r\right)^2}

\inline =>MT^\prime=\frac{r}{\left(R-r\right)}\sqrt{\left(R+r+R-r\right)\left(R+r-R+r\right)}=\inline \frac{2r}{R-r}\sqrt{Rr}

\inline \frac{MT^\prime}{MT}=\frac{r}{R}=>\frac{MT^\prime}{MT-MT^\prime}=\frac{r}{R-r}=\inline \frac{MT^\prime}{TT^\prime}=>

\inline TT^\prime=\frac{R-r}{r}\cdot\frac{2r}{R-r}\cdot\sqrt{Rr}\inline =>TT^\prime=2\sqrt{Rr}

22. Calculati lungimile tangentelor comune exterioare si interioare a doua cercuri de raze 8 cm si 5 cm, daca distanta dinte centrele lor este de 20 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 80

Prelungim O’T’ cu un segment T’M = 8 cm. TT’MO are doua laturi paralele si congruente si unghiuri de 90°, deci este dreptunghi, deci TT’=MO

In  aplicam teorema lui Pitagora: OO’2=T’M2+MO2 => TT’ ‘= MO =\inline \sqrt{400-169}=\sqrt{231}

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 81

Luam punctul M pe OT astfel incat MT=O’T. O’T’TM are doua laturi paralele si congruente si unghiuri de 90°, deci este dreptunghi, deci TT’=MO’ iar triunghiul OMO’ este dreptunghic. Aplicam teorema lui Pitagora:

OO’2=OM2+MO’2 => TT’ = MO’ = \inline \sqrt{400-9}=\sqrt{391}

23. Dati diferite metode de a construi un segment de lungime , u si v fiind lungimile unor segmente date.

Rezolvare:

Putem construi un triunghi dreptunghic cu marimea catetelor u, respectiv v. Aplicand teorema lui Pitagora, ipotenuza va avea lungimea \inline \sqrt{uv}.

Putem construi un cerc si luand un punct exterior lui si un punct A pe cerc astfel incat MA = u si MB = v, unde B este a doua intersectie a lui MA cu cercul, tangenta dusa prin M la cerc va avea lungimea \inline \sqrt{uv} conform puterii unui punct fata de cerc.

24. Gasiti un triunghi dreptunghic astfel incat lungimile laturilor, a inaltimii si proiectiilor catetelor pe ipotenuza sa fie toate numere intregi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 82

Alegem numerele 3, 4 si 5 pentru catete si ipotenuza. Vom observa ca inaltimea are valoarea \inline \frac{12}{5}, iar proiectiile catetelor pe ipotenuza \inline \frac{9}{5} si \inline \frac{16}{5}. Vom alege un triunghi dreptunghic asemenea cu acesta, cu raportul de asemanare 5. Astfel catetele vor fi 15 si 20, ipotenuza 25, inaltimea 12, iar proiectiile catetelor pe ipotenuza, 9 si 16.

25. Latura unui romb este de 11 cm, iar lungimea unei diagonale este de 15 cm. Este aceasta diagonala mai mare sau mai mica decat cealalata diagonala?

Rezolvare:

Stim ca diagonalele unui romb sunt perpendiculare si se injumatatesc. Aplicam teorema lui Pitagora pentru a afla cealalta diagonala.

\inline d^2=121-\frac{225}{4}=\frac{259}{4}=>d=\frac{\sqrt{259}}{2}\simeq8

Deci diagonala este cea mai mare.

26. Diagonala unui dreptunghi este de 10 cm iar una din laturi este de 7 cm. Este acea latura “lungimea” sau “latimea”?

Rezolvare:

Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul determinat de doua laturi si digonala, aflam ca cealalta latura este \inline \sqrt{100-49}=\sqrt{51}>7 , deci latura este latimea.

27. Un patrulater ABCD inscris intr-un cerc de raza 25 cm are diagonalele perpendiculare, departate de centrul cercului la 7 cm respectiv 15 cm. Sa se calculeze lungimile laturilor patrulaterului. Sa se calculeze si lungimile diagonalelor si sa se verifice relatia din problema 12 adica AB ∙ CD + AD ∙ BC = AC ∙ BD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 83

Consideram notatiile conform desenului.

OEFG – dreptunghi (din constructie) => OE = FG = 7 cm; GE = OF = 15 cm

In ⊿FOB aplicam teorema lui Pitagora: OB2=FO2+FB2 => FB=\inline \sqrt{(625-225)}=20\\ cm.

GB=FB-FG=20-7=13 cm

In ⊿AEO aplicam teorema lui Pitagora: OA2=AE2+OE2 => AE=\inline \sqrt{625-49}=24 cm.

AG=AE-GE=24-15=9 cm

In ⊿AGB aplicam teorema lui Pitagora: AB2=AG2+GB2 => AB=\inline \sqrt{81+169}=5\sqrt{10} cm.

⊿AOC este isoscel, laturile sale fiind razele cercului, iar OE este inaltimea din varf, deci este si mediana => CE = EA = 24 cm;

CG = CE + EG = 24 + 15 = 39 cm.

In ⊿CGB aplicam teorema lui Pitagora: BC2 = CG2 + GB2 => BC=\inline \sqrt{1521+169}=13\sqrt{10} cm.

In ⊿DFO aplicam teorema lui Pitagora: DO2=DF2+OF2 => DF=\inline \sqrt{625-225}=20 cm.

DG = DF + FG = 20 + 7 = 27 cm

In ⊿AGD aplicam teorema lui Pitagora: DA2=DG2+AG2 => DA=\inline \sqrt{729+81}=9\sqrt{10} cm.

In ⊿DGC aplicam teorema lui Pitagora: DC2=DG2+CG2 => DC= \inline \sqrt{729+1521}=15\sqrt{10} cm.

Laturile au urmatoarele dimensiuni: \inline 15\sqrt{10} cm, \inline 9\sqrt{10} cm, \inline 13\sqrt{10} cm si \inline 5\sqrt{10} cm.

28. Enuntati o reciproca a teoremei inaltimii care sa fie incorecta!

Rezolvare:

Daca intr-un triunghi ABC, D este piciorul inaltimii din A si AD2=BD∙DC, atunci unghiul A are 90°. Fals, deoarece D s-ar putea sa nu fie intre B si C.

29. Intr-un triunghi ABC, unghiul A este ascutit daca si numai daca BC2 < AB2 + AC2.

Rezolvare:

Construim doua triunghiuri, unul in care unghiul A are 90° si unul cu unghiul A’ < 90°. Daca m(∢A’)<m(∢A)=>B’C’<BC. Aplicand teorema lui Pitagora in primul triunghi => BC2 < AB2 + AC2. => B’C’2 < A’B’2 + A’C’2.

Observatie. Desigur ca ati rezolvat cu usurinta problema 10, afland astfel ca lungimea diagonalei unui patrat de latura 1 cm este  cm. Deci constructii simple aplicate unor segmente cu lungimi rationale (chiar intregi) conduc la segmente de lungimi irationale. Descoperirea acestui fapt a produs o mare surpriza in lumea matematicienilor greci, inaintea erei noastre.

Exista totusi triunghiuri dreptunghice ale caror laturi au toate trei lungimile intregi. Unul din ele este cel de catete 3 si 4 si ipotenuza 5. Rezolvand problemele ati intalnit probabil si altele. Se cunoaste forma generala a tripletelor de numere naturale diferite de 0 (x, y, z) pentru care x2 + y2 = z2, anume x = k ∙ (p2 – q2), y = 2kpq, z = k ∙ (p2 + q2) sau acelasi cu x permutat cu y, in care k, p, q sunt numere naturale, p < q si, pentru a evita repetitiile, se presupune ca p si q sunt prime intre ele si sunt unul par si unul impar. Prezenta factorului k este usor de inteles daca avem in vedere notiunea de triunghiuri asemenea. Sa dam cateva exemple, toate cu k = 1, p = 2, q = 1 da (3, 4, 5), p = 3, q = 2 da (5, 12, 13), p = 4, q = 1 da (15, 8, 17), p = 4, q = 3 da (7, 24, 25), p = 5, q = 2 da (21, 20, 29), p = 5, q = 4 da (9, 40, 41) etc. Puteti folosi aceste triplete pentru a construi voi insiva probleme in care sa nu “apara radicali” in cursul rezolvarii lor. Puteti verifica usor ca x, y, z definiti prin formulele de mai sus verifica relatia x2 + y2 = z2. Mai greu, dar nu dincolo de posibilitatile voastre de intelegere, este de a dovedi ca orice triplet de numere intregi (x, y, z) pentru care x2 + y2 = z2 se obtine prin formulele de mai sus cu k, p, q intregi.

Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

Pentru a deduce o prima consecinta a teoremei din paragraful precedent (teorema care se va numi “teorema asupra puterii punctului fata de un cerc”), sa consideram un triunghi dreptunghic ABC cu m(∢A)=90°, sa deducem cercul de centru B si raza AB si sa consideram intersectiile sale D si E cu BC.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 84

Cercul va fi tangent in A la AC, iar BE = BD = BA. Teorema asupra puterii punctului C fata de acest cerc ne spune ca AC2 = CE ∙ CD = (CB + AB)(CB – AB) = CB2 – AB2. Obtinem, ca prima consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc:

Teorema lui Pitagora. Intr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenuzei.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 85

Importanta acestei teoreme este foarte mare. Ea reprezinta solutia unei probleme de tipul: se cunosc lungimile a doua laturi a unui triunghi si masura unghiului cuprins intre ele, sa se calculeze lungimea celei de-a treia laturi (unghiul cuprins intre ele avand o valoare particulara, de 90).

Alta consecinta a teoremei puterii punctului fata de cerc se obtine ducand un diametru AB al unui cerc, alegand un punct C pe tangenta A la cerc si considerand celalalt punct comun D al dreptei CB si al cercului (fig. 1.42).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 86

Vom avea si AB2 = CB ∙ CD

Cum orice triunghi dreptunghic se poate considera in situatia triunghiului ABC din figura, obtinem:

Teorema catetei. Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este medie proportionala intre ipotenuza si proiectia acesteia pe ipotenuza. (Prin proiectie a unui punct pe o dreapta intelegem piciorul perpendicularei duse din acel punct pe acea dreapta. Proiectia unui segment este segmentul determinat de proiectiile capetelor sale; se poate evident intampla ca proiectia unui segment sa se “reduca” la un punct.)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 87

In fine, sa consideram un punct D in interiorul unui cerc si sa ducem diametrul BC si coarda AA’ perpendiculara pe acest diametru ce trec prin D (fig.1.44).

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 88

Avem AB ≡ DA’,  iar DB ∙ DC = DA ∙ DA’ = DA2. Deci:

Teorema inaltimii.  Intr-un triunghi dreptunghic, inaltimea dusa din varful unghiului drept este medie proportionala intre cele doua segmente determinate de ea pe ipotenuza.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 89

Observatie. Teorema catetei si teorema inaltimii se pot demonstra si observand ca  si ca  si alegand, din relatiile de proportionalitate ale laturilor, cate doua rapoarte egale, relativ la care se scrie egalitatea dintre produsul mezilor si cel al extremilor.

Cele trei teoreme de mai sus ne permit sa “stapanim situatia” din figura 1.46, in care este desenat un triunghi deptunghic ABC si inaltimea sa AD dusa din varful unghiului drept A.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 90

Mai precis, aceste teoreme ne permit, cunoscand lungimile a doua din cele sase segmente ce apar in figura 1.46 – doua catete, ipotenuza, inaltimea, cele doua proiectii ale catetelor pe ipotenuza – sa calculam lungimile celorlalte patru. Tinand cont si de “simetria situatiei” (nu a figurii!), se pot formula noua astfel de probleme. Doua dintre ele sunt mai dificile si vor fi rezolvate in continuare (problemele rezolvate 2 si 3). Vom incepe cu una din cele simple, iar celelalte sase vor fi obiectul problemelor 1 – 6 din categoria probleme.

Problema rezolvata 1. Intr-un triunghi dreptunghic ABC, lungimile catetelor sunt AB = 4 cm si AC = 3 cm (fig. 1.47). Sa se determine lungimile ipotenuzei, a inaltimii si a segmentelor determinate pe ipotenuza de piciorul inaltimii.

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 91

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AB=4,AC=3

Concluzia: BC=?,AD=?,BD=?,CD=?

Rezolvare:

Din Teorema lui Pitagora deducem BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25, deci

\inline BC\ =\ \sqrt{25}=5

Din teorema catetei deducem AB2 = BD ∙ BC, deci \inline BD=\frac{{AB}^2}{BC}, adica \inline BD=\frac{16}{5}.

Avem acum doua posibilitati de a calcula CD: una consta in a aplica teorema catetei pentru AC, cealalta in a scrie CD=BC-BD=\inline 5-\frac{16}{9}=\frac{5}{9}.

In fine, avem trei posibilitati de a calcula AD: teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice ABD, ACD si teorema inaltimii. Prima da

\inline AD=\sqrt{{AB}^2-{BD}^2}=\sqrt{4^2-{(\frac{16}{5})}^2}=\frac{12}{5}

Observatie.  Din ∆ABC∼∆DACdeducem si \inline \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC} sau AB ∙AC = AD ∙ BC, relatie care ofera o a patra posibilitate de calcul a lui AD. Aceasta relatie nu reprezinta altceva decat “aria lui ABC, calculata in doua moduri”.

Problema rezolvata 2.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC cunoastem lungimile ipotenuzei BC = a si ale inaltimii AD = h. Sa se determine lungimile proiectiilor BD, DC ale catetlor pe ipotenuza. (fig.1.48)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 92

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,BC=a,AD=h

Concluzia: BD=?,CD=?

Rezolvare:

Unghiul BAC fiind drept, rezulta ca bc este un diametru al cercului circumscris triunghiului ABC, deci centrul O al acestui cerc se afla la mijlocul lui BC. Deducem \inline OA=\frac{1}{2};\ BC=\frac{a}{2} si acum este simplu de continuat, aplicam teorema lui Pitagora in ∆OAD care da \inline OD=\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} si obtinem ca rezultat BD=BO+OD= \inline \frac{a}{2}+\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2}, CD=CO-OD= \inline \frac{a}{2}-\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2-h^2} . Evident ca acest rezultat corespunde modului de a nota astfel figura incat D sa fie intre O si C.

a si h fiind date, conditia necesara si suficienta de existenta a triunghiului din enunt este \inline h\le\frac{a}{2} (aceasta este conditia necesara si suficienta pentru a putea construi ∆OAD).

Odata determinate BD, CD, putem calcula AB, AC aplicand teorema lui Pitagora in ∆ABD si  ∆ACD.

Observatie.  Tinand cont de teorema inaltimii, formulele obtinute rezolva si problema: cunoscand suma a si produsul h2 a doua numere (lungimile BD, CD), sa se afle cele doua numere. Verificati si cu ajutorul calculului algebric aceasta.

Problema rezolvata 3.  Intr-un triunghi dreptunghic ABC se cunosc lungimile unei catete AC si a proiectiei BD a celelilalte pe ipotenuza, sa se afle lungimile ipotenuzei BC si a proiectiei CD a celeilalte catete pe ipotenuza. (fig. 1.49)

Matematica Capacitate Relatii metrice in triunghiul dreptunghic 93

Ipoteza: AB⊥AC,AD⊥BC,AC=b,BD=d

Concluzia: BC=?,CD=?

Rezolvare:

Sa consideram cerculd e diametru BD si sa ducem o tangenta CT la acest cerc. Fie O centrul cercului. Teorema catetei spune ca AC2 = CD ∙ CB iar teorema asupra puterii punctului  ca CT2 = CD ∙ CB. Deducem ca CT = AC = b. Avem OT⊥CT si teorema lui Pitagora in ∆CTO da CO=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} obtinem BC=CO+OB=\inline \frac{d}{2}+\sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2} iar CD=CO-OD=\inline \sqrt{{(\frac{d}{2})}^2+b^2}-\frac{d}{2}.

Oricum am alege doua numere b, d, exista un triunghi care indeplineste conditiile din enunt (se construieste  cu m(∢T)=90° etc.).

Formulele obtinute rezolva si problema; cunoscand diferenta d si produsul b2 a doua numere (lungimile CB, CD) sa se afle cele doua numere (verificati aceasta si prin algebra).

Probleme puterea unui punct fata de un cerc

1.Sa se arate ca puterea unui punct exterior unui cerc fata de acel cerc este egala cu patratul distantei de la acel punct la punctul de contact al tangentei dusa din el la cerc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 94

Ipoteza: MC tangenta la cerc, AB coarda

Concluzie: MA∙MB=MC2

m(∢CAB)=m(∢ACM)=\inline m\frac{\widehat{(AC)}}{2}

⊿CBM∼⊿ACM (un unghi comun si doua unghiuri congruente) =>

\inline \frac{BM}{CM}=\frac{CM}{AM}=BM∙AM=MC2

2.Tangentele duse la doua cercuri secante dintr-un punct situat pe dreapta ce trece prin cele doua puncte comune celor doua cercuri (si in exteriorul celor doua cercuri) au lungimi egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 95

Din problema anterioara => BM∙AM=MN2 si BM∙AM=MP2

=>MN2=MP2=MN=MP

3.Daca un punct are puteri egale fata de doua cercuri secante, atunci el este situat pe dreapta ce uneste cele doua puncte comune celor doua cercuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 96

Unim pe M cu P, unul din punctele comune si calculam puterea lui M fata de cele doua cercuri.

MA∙MB=MS∙MP;MC∙MD=MT∙MP

Dar MA∙MB=MC∙MD=MT=MS deci S este celalalt punct de intersectie al celor doua cercuri

4.Care este locul geometric al punctelor ce au puteri egale fata de doua cercuri tangente?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 97

MA∙MB=MC∙MD

Unim pe M cu punctul de tangenta si obtine relatiile:

MA∙MB=MC∙MD=MT2 => M apartine tangentei comune in punctul de tangenta.

5.Trei cercuri cu centrele necoliniare sunt secante doua cate doua. Sa se arate ca cele trei coarde comune sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 98

Din problema 3 stim ca daca un punct are puteri egale fata de doua cercuri secante, atunci el este situat pe dreapta ce uneste cele doua puncte comune celor doua cercuri. Fie M un astfel de punct pentru cercurile C(O) si C(O’).

Dar E si F sunt situate si ele pe O’ iar D si C pe O’’ =>

MA∙MB=ME∙MF=MD∙MC=>  M are puteri egale si pentru cercurile O’ si O’’ si pentru O si O’’ => el apartine intersectiei coardelor.

6.Se dau doua segmente u, v. Construiti un segment de lungime \inline \sqrt{uv}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 99

Construim un cerc, iar in exteriorul sau luam un punct M astfel incat MA=u;MB=v, A si B apartinand cercului. Prin M ducem tangenta la cerc care intersecteaza cercul in T. Conform puterii lui M fata de cerc MA∙MB=MT2 => \inline MT=\sqrt{u\cdot v}

7.Se dau punctele A, B si o dreapta d. Sa se construiasca un cerc care trece prin A, B si este tangent dreptei d (A, B sunt in acelasi semiplan fata de dreapta d). Cate solutii are in general problema? Care este cazul de exceptie?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 100

Unim pe A cu B si prelungim pe AB pana se intersecteaza cu dreapta d. Punctul de intersectie il vom nota cu M. Punctul de tangenta al dreptei d cu cercul se va afla la distanta \inline \sqrt{MA\cdot M B} pe d. (aici putem considera doua sensuri, deci vom avea doua solutii) Ducem perpendiculara in T pe dreapta d si mediatoarea segmentului AB. Punctul de intersectie va fi centrul cercului.

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 101

Daca AB∥d, ducem mediatoarea segmentului AB pana se intersecteaza cu d, iar centrul cercului va fi la 1/3 din distanta segmentului nou obtinut fata de punctul de intersectie cu drapta d. In acest caz, avem o singura solutie.

8. Dati o noua demonstratie teoremei conform careia daca printr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem o secanta ce intersecteaza cercul in A, B, atunci produsul MA ∙ MB este acelasi pentru toate secantele ce trec prin M, in cazul in care M este exterior cercului, aratand asemanarea altei perechi de triunghiuri decat cea considerata in demonstratia data.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 102

ABDC este un patrulater inscris in cerc. m(∢BDC)+m(∢BAC)=180°

Dar si m(∢BAC)+m(∢CAM)=180°=> ∢BDC≡∢CAM=>

⊿AMC∼⊿DMB (∢AMC≡∢DMB unghi comun si doua unghiuri congruente) =>

\inline \frac{AM}{MD}=\frac{MC}{MB}=AM∙MB=MD∙MC

9.Dati o noua demonstratie teoremei: daca intr-un patrulater convex diagonalele formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente, atunci unghiurile opuse ale patrulaterului sunt suplementare. Nu se va folosi nicaieri in demonstratie notiunea de cerc!

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 103

Ipoteza: ∢DAC≡∢DBC

Concluzie: m(DAB)+m(BCD)=180°

∢DAC≡∢DBC, dar si ∢AMD≡∢BMC=> in ⊿AMD,⊿BMC stiind ca suma unghiurilor unui triunghi este de 180°, ∢MDA≡∢MCB

⊿AMD∼⊿BMC, \inline \frac{AM}{MB}=\frac{DM}{MB}=>\frac{AM}{DM}=\frac{BM}{MC}

Stiind ca si ∢AMB≡∢CMD (unghiuri opuse la varf) =>

⊿AMB∼⊿DMC (avand cate un unghi congruent si laturile care il formeaza proportionale) =>∢CAB≡∢BDC;∢MBA≡∢DCM

m(∢ADB)+m(∢DAC)+m(∢CAB)+m(∢ABD)=180°

(suma unghiurilor unui triunghi)

m(∢ACB)+m(∢DAC)+m(∢CAB)+m(∢ACD)=

m(∢DAB)+m(∢DCB)=180°

m(∢ADB)+m(∢BDC)+m(∢DCA)+m(∢DAC)=180°

(suma unghiurilor unui triunghi)

m(∢ADB)+m(∢BDC)+m(∢CBD)+m(∢ABD)=

m(∢ADC)+m(∢ABC)=180°

10.Se considera un cerc, un punct fix M nesituat pe acel cerc si un numar (pozitiv) k. Se considera un punct A pe cerc si punctul B de pe segmentul MA pentru care MA ∙ MB = k. Care este locul geometric a lui B cand A parcurge cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 104

Ducem din M tangentele la cercul dat care intersecteaza cercul in punctele T, respectiv T’. Ducem prin o dreapta BU, U apartinand segmentului MT astfel incat  avand unghiurile congruente.

\inline \frac{AB}{UT}=\frac{UM}{AM} => AB∙AM=UT∙UM => UM = \inline \frac{k}{UT}

UM este constanta, M fiind fix, => pozitia lui U este fixa. Similar gasim si punctul U’ pe cealalta tangenta. In timp ce A se deplaseaza pe cerc, B va descrie si el un cerc cu diametrul UU’ (acestea fiind pozitiile extreme delimitate de tangente.)

11.Care este locul geometric din problema 10, in cazul cand M se afla pe cerc?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 105

Ducem diametrul MN si consideram pe el un punct P astfel incat .

\inline \bigtriangleup AMN\equiv \bigtriangleup PMB (avand unghiurile congruente) =>

\inline \frac{AM}{MP}=\frac{MN}{MB}

=> AM∙MB=MP∙MN => MP∙2R=k =>

MP este constant, deci B se afla pe perpendiculara in punctul P.